условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент логарифма положителен.
Модуль неотрицателен при любом x и обращается в ноль только при x = 0, поэтому |2x| > 0 равносильно x ≠ 0.
шаг 2.Группируем и раскладываем на множители
Обозначим L = log₂|2x|. Первые два слагаемых вместе с шестёркой дают квадратный трёхчлен относительно L, а у третьего и четвёртого есть общий множитель.
По теореме Виета для L² − 5L + 6 = 0: сумма корней должна равняться 5, произведение — 6. Подбираем 2 и 3, отсюда L² − 5L + 6 = (L − 2)(L − 3). Во второй паре слагаемых выносим общий множитель: 2|x|·L − 4|x| = 2|x|(L − 2).
шаг 3.Чётность выражения
· x² — гладкая (парабола), растёт квадратично, монотонно убывает при x < 0 и возрастает при x > 0;
· |x| — с изломом в нуле, растёт линейно.
Если x встречается только под модулем или в виде x² (например, ) — всё выражение чётное, график симметричен относительно оси y. Достаточно решить неравенство для , а ответ для получить симметричным отражением.
Если x появляется вне модуля и не в квадрате (например, ) — чётность теряется, левая и правая половины ведут себя по-разному.
содержит x как и — оно чётное. Случай даст ответ, симметричный случаю .
Поэтому достаточно решить неравенство при x > 0, а потом отразить.
шаг 4.Решение при x > 0
При x > 0 модули снимаются: |2x| = 2x и |x| = x. Оба множителя строго возрастают — логарифм возрастает, линейная часть тоже, — поэтому каждый обращается в ноль ровно один раз и только там меняет знак.
Корень второго множителя подбираем: при x = 1 получается log₂2 + 2 − 3 = 0; других нулей нет, множитель строго возрастает. Пробная точка x = 0,5: log₂1 − 2 = −2 и log₂1 + 2·0,5 − 3 = −2, произведение (−2)·(−2) = 4 > 0 — знак «+» на интервале (0; 1). Между 1 и 2 первый множитель ещё отрицателен, второй уже положителен — знак «−»; при x > 2 положительны оба. Концы 1 и 2 закрашены (нестрогое ≥), точка x = 0 выколота по ОДЗ.
шаг 5.Отражение для x < 0 и объединение
С учётом условия x > 0 из предыдущего шага получили (0; 1] и [2; +∞). Так как функция чётная, ответ для x < 0 — зеркальное отражение этих множеств относительно нуля. Объединяем обе половины.
Точка x = 0 остаётся выколотой на обеих половинах — она исключена ОДЗ. Концы ±1 и ±2 закрашены: в них произведение равно нулю, а неравенство нестрогое.