Глава 5. Специальные техники и смешанные

убрать аналоги

\log_{5 - x} (x + 3) \leq 0

5-1-sravnenie-s-nulyom

Сравнение с нулём: (f−1)(g−1) ⋛ 0

Признак. Один логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём.

Решение. ОДЗ (f>0, f≠1, g>0); рационализация log_f g ⋛ 0 ⇔ (f−1)(g−1) ⋛ 0; метод интервалов.

1408 1409 1411 1412 1413 1426 1414 1419 1428 1423 1425 1430 1431 1432 1433

\log_{4 - x} (16 - x^{2}) \leq 1

5-1-sravnenie-s-chislom

Сравнение с числом: приведение к нулю

Признак. Один логарифм с переменным основанием сравнивается с ненулевым числом: log_{f(x)}g(x) ⋛ c.

Решение. Записать c как log_f f^c; перенести в одну часть; рационализация (f−1)(g−f^c) ⋛ 0; метод интервалов с ОДЗ.

1401 1406 1407 1410 1415 1416 1417 1427 1435 1418 1424 1434 1436 1438 1444 1452 1456

\log_{x + 1} (2 x - 5) + \log_{2 x - 5} (x + 1) \leq 2

5-1-vzaimno-obratnye-i-mnozhiteli

Взаимно-обратные логарифмы и множители

Признак. Сумма log_a b + log_b a, произведение логарифма на многочлен, дробь с логарифмом в знаменателе.

Решение. Замена t=log_a b (тогда log_b a = 1/t) либо рационализация каждого множителя; метод интервалов по множителям с полным ОДЗ.

1402 1403 1420 1421 1422 1429 1404 1405 1437 1439 1440 1441 1442 1443 1445 1446 1449 1447 1448 1450 1451 1453 1454 1455 1457 1458 1459 1460 1461 1462 1463 1464

20 \log_{4}^{2} (\cos x) + 4 \log_{2} (\cos x) \leq 1

5-2-zamena-po-log-trig

Замена t = logₐ(sin x) или logₐ(cos x)

Признак. Тригонометрическая функция стоит под знаком логарифма.

Решение. ОДЗ (sin x>0 либо cos x>0); замена t=logₐ(sin x); решить квадратное неравенство по t; вернуться к тригонометрическому неравенству и записать серии решений.

1517 1518 1530

\frac{4 \sin x \cdot \sin 2 x - \sin^{2} 2 x - 4 + 4 \cos^{2} x}{\sqrt{_{16 - 2} {(x - 5)}^{2}}} \geq 0

5-2-trig-v-mnozhitelyah

Тригонометрия в множителях и ОДЗ

Признак. Синус или косинус входит множителем, в знаменателе или в области определения, но не под логарифмом.

Решение. Разложить на множители по формулам двойного угла и основному тождеству; ОДЗ корней и знаменателей; метод интервалов с учётом периодичности.

1519 1528 1536 1543

7^{- | x - 3 |} \cdot \log_{2} (6 x - x^{2} - 7) \geq 1

5-3-stepen-i-modul

Показательная функция и модуль

Признак. Модуль стоит в показателе степени либо степень с переменным показателем умножается на выражение с модулем.

Решение. Раскрыть модуль по случаям; на каждом промежутке замена t=aˣ и метод интервалов; объединить решения по случаям.

1501 1505 1502 1503 1504 1506 1507 1508 1510 1512 1513 1514 1515 1516 1520 1521 1522 1523 1525 1527 1529 1535 1547

\frac{\log_{2} (8 x) \cdot \log_{3} (27 x)}{x^{2} - | x |} \leq 0

5-3-modul-i-logarifm

Модуль внутри логарифма или в дроби

Признак. Модуль стоит под логарифмом, в знаменателе дроби или в числителе рядом с логарифмом.

Решение. ОДЗ логарифма и знаменателя; раскрыть модуль по случаям; на каждом случае свести к рациональному неравенству; метод интервалов.

1509 1511 1526 1531 1532 1533 1534 1538 1539 1540 1541 1542

\frac{\sqrt{x - 2} \cdot (81 - 3^{x}) \cdot \log_{0,5}^{2} (6 - x)}{3^{x} - 720} \leq 0

5-3-raznotipnye-mnozhiteli

Произведение разнотипных множителей

Признак. В одном неравенстве перемножаются или делятся множители разных типов: корень, степень, логарифм.

Решение. ОДЗ всех множителей сразу; знак каждого множителя отдельно своим методом; метод интервалов по множителям.

1524 1537 1544 1545 1546 1548 1549

5-1Логарифмы с переменным основанием: метод рационализации