Задача 10151441 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Правая часть

Справа аргумент логарифма — точный квадрат: (2 − x)² = (x − 2)² = |x − 2|². Чётный показатель выносится с модулем, и под логарифмом остаётся ровно его основание. Вся правая часть равна единице.

{(2 - x)}^{2} = {(x - 2)}^{2} = | x - 2 |^{2}

\frac{1}{2} \log_{| x - 2 |} {(2 - x)}^{2} = \frac{1}{2} \log_{| x - 2 |} | x - 2 |^{2} =

= \frac{1}{2} \cdot 2 \log_{| x - 2 |} | x - 2 | = 1

\log_{x + 4} (x^{2} - 8 x + 12) < 1

Степень выносим с модулем: log_a b^{2k} = 2k · log_a |b|. Здесь |2 − x| = |x − 2| — это само основание логарифма, а log_a a = 1. Преобразование законно, пока |x − 2| > 0 и |x − 2| ≠ 1; эти условия уйдут в ограничение ④.

шаг 2.Метод рационализации

Единицу справа записываем логарифмом по тому же основанию — теперь обе части однотипны, и работает метод рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ②, ③ и ④.

1 = \log_{x + 4} (x + 4)

\log_{x + 4} (x^{2} - 8 x + 12) < \log_{x + 4} (x + 4) ⟺

{\begin{matrix} ((x + 4) - 1) ((x^{2} - 8 x + 12) - (x + 4)) < 0 & 1 \\ x + 4 > 0, x + 4 \neq 1 & 2 \\ x^{2} - 8 x + 12 > 0 & 3 \\ | x - 2 | > 0, | x - 2 | \neq 1 & 4 \end{matrix}

Условия ② и ③ — ОДЗ левого логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен. Условие ④ — ОДЗ правого логарифма, того самого, который мы свернули в единицу.

шаг 3.Неравенство ①

Приводим подобные в обеих скобках и раскладываем квадратный трёхчлен по теореме Виета.

1 ((x + 4) - 1) ((x^{2} - 8 x + 12) - (x + 4)) < 0

(x + 3) (x^{2} - 9 x + 8) < 0

(x + 3) (x - 1) (x - 8) < 0

Проверка по Виета: для x² − 9x + 8 сумма корней должна равняться 9, произведение — 8. У нас 1 + 8 = 9 и 1 · 8 = 8 — оба сходятся. Все три корня выколоты (строгое <). Пробная точка x = 0 на интервале (−3; 1): (0 + 3)(0 − 1)(0 − 8) = 3 · (−1) · (−8) = 24 > 0 — знак «+»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −3) ∪ (1; 8).

шаг 4.Ограничение ②

Условие ② — основание левого логарифма положительно и не равно единице.

2 x + 4 > 0, x + 4 \neq 1

x > - 4, x \neq - 3

Точка x = −3 выколота: там x + 4 обращается в единицу. Знак самого выражения x + 4 через неё не меняется. Решение ②: (−4; −3) ∪ (−3; +∞).

шаг 5.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент левого логарифма положителен.

3 x^{2} - 8 x + 12 > 0

(x - 2) (x - 6) > 0

Проверка по Виета: для x² − 8x + 12 сумма корней должна равняться 8, произведение — 12. У нас 2 + 6 = 8 и 2 · 6 = 12 — оба сходятся. Парабола ветвями вверх, корни выколоты (строгое >): трёхчлен положителен вне корней. Решение ③: (−∞; 2) ∪ (6; +∞).

шаг 6.Ограничение ④

Условие ④ — основание правого логарифма положительно и не равно единице.

4 | x - 2 | > 0, | x - 2 | \neq 1

x \neq 2, x - 2 \neq \pm 1

x \neq 1, x \neq 2, x \neq 3

Модуль обращается в ноль при x = 2 и в единицу при x = 1 и x = 3 — все три точки выколоты. Решение ④: вся ось, кроме точек 1, 2 и 3.

шаг 7.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Ограничение ② обрезает левый луч по x = −4, ограничение ③ разрывает интервал (1; 8) на (1; 2) и (6; 8), а ограничение ④ ничего нового не отсекает: точка 3 уже выпала вместе с интервалом (2; 6).

Проверка: x = 1,5 ⇒ слева log_{5,5} 2,25 ≈ 0,48, справа 1 — неравенство верно ✓. Проверка: x = 7 ⇒ слева log₁₁ 5 ≈ 0,67 < 1 ✓. Проверка: x = −2 ⇒ слева log₂ 32 = 5 > 1 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

условие