Задача 10151541 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

(\log_{| 2 x + 0,5 |} (0,25 - x) - 1) \cdot \log_{9} (0,25 - x) > \log_{3} \frac{0,25 - x}{| 2 x + 0,5 |}

шаг 1.Область допустимых значений

Выражения под логарифмами повторяются — обозначим их буквами a и b. Основание логарифма положительно и не равно единице, аргумент положителен.

ОДЗ

a = | 2 x + 0,5 |, b = 0,25 - x

{\begin{matrix} b > 0 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{matrix}

b > 0 ⟺ 0,25 - x > 0 ⟺ x < 0,25

a > 0 ⟺ 2 x + 0,5 \neq 0 ⟺ x \neq - 0,25

a \neq 1 ⟺ {\begin{matrix} 2 x + 0,5 \neq 1 \\ 2 x + 0,5 \neq - 1 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0,25 \\ x \neq - 0,75 \end{matrix}

{\begin{matrix} x < 0,25 \\ x \neq - 0,25 \\ x \neq - 0,75 \end{matrix}

Модуль положителен всюду, кроме точки, где подмодульное выражение равно нулю, поэтому a > 0 равносильно x ≠ −0,25. Модуль равен единице в двух точках: 2x + 0,5 = 1 даёт x = 0,25, а 2x + 0,5 = −1 даёт x = −0,75. Первая из них и так отсечена условием x < 0,25. Аргумент последнего логарифма b/a положителен автоматически: это частное двух положительных чисел.

шаг 2.Приводим логарифмы к основанию 3

Логарифмы записаны по трём разным основаниям: переменному a, затем 9 и 3. Переводим все к основанию 3 и обозначаем u = log₃b, v = log₃a. По ОДЗ a ≠ 1, поэтому v ≠ 0 — на него можно делить.

u = \log_{3} b, v = \log_{3} a, v \neq 0

\log_{a} b = \frac{\log_{3} b}{\log_{3} a} = \frac{u}{v}

\log_{9} b = \frac{\log_{3} b}{\log_{3} 9} = \frac{u}{2}

\log_{3} \frac{b}{a} = \log_{3} b - \log_{3} a = u - v

(\frac{u}{v} - 1) \cdot \frac{u}{2} > u - v

Использована формула перехода к новому основанию, log₃9 = 2 и разность логарифмов частного.

шаг 3.Сводим к одной дроби

Приводим скобку к общему знаменателю, переносим правую часть влево и выносим общий множитель (u − v).

\frac{u - v}{v} \cdot \frac{u}{2} > u - v

\frac{u (u - v)}{2 v} - (u - v) > 0

(u - v) (\frac{u}{2 v} - 1) > 0

(u - v) \cdot \frac{u - 2 v}{2 v} > 0

\frac{(u - v) (u - 2 v)}{2 v} > 0

Множитель (u − v) есть в обоих слагаемых: в первом он стоит в числителе, во втором — целиком.

шаг 4.Метод рационализации

Каждый множитель — разность логарифмов по основанию 3. Метод рационализации заменяет такую разность произведением (3 − 1)(разность аргументов): знаки совпадают на ОДЗ, найденном в шаге 1. Положительные множители 2 сокращаются и на знак не влияют.

u - v = \log_{3} b - \log_{3} a \sim (3 - 1) (b - a)

u - 2 v = \log_{3} b - \log_{3} a^{2} \sim (3 - 1) (b - a^{2})

v = \log_{3} a - \log_{3} 1 \sim (3 - 1) (a - 1)

\frac{(3 - 1) (b - a) \cdot (3 - 1) (b - a^{2})}{2 \cdot (3 - 1) (a - 1)} > 0 ⟺ \frac{(b - a) (b - a^{2})}{a - 1} > 0

b - a^{2} = (0,25 - x) - {(2 x + 0,5)}^{2} = - 4 x^{2} - 3 x = - x (4 x + 3)

\frac{((0,25 - x) - | 2 x + 0,5 |) \cdot (- x (4 x + 3))}{| 2 x + 0,5 | - 1} > 0

Знак ∼ читается как «совпадает по знаку»: обе части обращаются в ноль в одних и тех же точках и имеют между ними одинаковый знак. Во второй строке 2v = 2·log₃a = log₃a², а квадрат модуля равен квадрату самого выражения: a² = (2x + 0,5)². Раскрытие скобки: 0,25 − x − (4x² + 2x + 0,25) = −4x² − 3x.

шаг 5.Случай 1: −0,25 < x < 0,25

Нуль подмодульного выражения — точка x = −0,25. Справа от неё модуль раскрывается со знаком плюс. Решаем полученную дробь методом интервалов и пересекаем с условием случая.

| 2 x + 0,5 | = 2 x + 0,5

\frac{((0,25 - x) - (2 x + 0,5)) \cdot (- x (4 x + 3))}{(2 x + 0,5) - 1} > 0

\frac{(- 3 x - 0,25) \cdot (- x (4 x + 3))}{2 x - 0,5} > 0

нули числителя: $(- 3 x - 0,25) \cdot (- x (4 x + 3)) = 0$ ⟺
- $- 3 x - 0,25 = 0 ⟺ x = - \frac{1}{12}$
- $x = 0$
- $4 x + 3 = 0 ⟺ x = - 0,75$
точка разрыва: $2 x - 0,5 = 0$ ⟺
- $x = 0,25$

Все точки выколоты: нули числителя — из-за строгого неравенства, точка 0,25 — по ОДЗ. Пробная точка x = 1 на интервале (0,25; +∞): числитель (−3 − 0,25) · (−1 · 7) = (−3,25) · (−7) = 22,75 > 0, знаменатель 2 − 0,5 = 1,5 > 0 — знак «+», дальше знаки чередуются: «+, −, +, −, +». Пересечение решения с условием случая оставляет только интервал (−1/12; 0).

шаг 6.Случай 2: x < −0,25

Слева от точки −0,25 модуль раскрывается со знаком минус. Здесь множитель (x + 0,75) появляется и в числителе, и в знаменателе — после сокращения остаётся простое квадратное неравенство.

| 2 x + 0,5 | = - (2 x + 0,5) = - 2 x - 0,5

(0,25 - x) - (- 2 x - 0,5) = x + 0,75

(- 2 x - 0,5) - 1 = - 2 x - 1,5 = - 2 (x + 0,75)

- x (4 x + 3) = - 4 x (x + 0,75)

\frac{(x + 0,75) \cdot (- 4 x (x + 0,75))}{- 2 (x + 0,75)} > 0

\frac{- 4 x {(x + 0,75)}^{2}}{- 2 (x + 0,75)} > 0

2 x (x + 0,75) > 0

Сокращение (x + 0,75) допустимо: значение x = −0,75 уже исключено ОДЗ (там модуль равен единице), поэтому делитель не равен нулю — корень не теряем. Оба минуса в числителе и знаменателе взаимно уничтожаются, остаётся 2x(x + 0,75). Пробная точка x = 1: 2 · 1 · 1,75 = 3,5 > 0 — знак «+», знаки чередуются: «+, −, +». Точки −0,75 и 0 выколоты (строгое неравенство и ОДЗ). Пересечение решения с условием случая оставляет луч x < −0,75.

шаг 7.Объединение случаев

Случаи разбирались по знаку выражения под модулем, поэтому их результаты объединяем.

Все три границы выколоты: в точке −0,75 основание логарифма равно единице и выражение не определено, а в точках −1/12 и 0 неравенство обращается в равенство. Точка −0,25 в ответ не попадает: она лежит между лучом x < −0,75 и интервалом (−1/12; 0).

ответ

x \in (- \infty; - 0,75) \cup (- \frac{1}{12}; 0)