Задача 10151427 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Минус четыре справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ② и ③.

\log_{4 - x} \frac{x + 1}{{(x - 4)}^{4}} \geq \log_{4 - x} {(4 - x)}^{- 4} ⟺

{\begin{matrix} (4 - x - 1) (\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{4}} - {(4 - x)}^{- 4}) \geq 0 & 1 \\ 4 - x > 0, 4 - x \neq 1 & 2 \\ \frac{x + 1}{{(x - 4)}^{4}} > 0 & 3 \end{matrix}

Минус четыре — это логарифм основания в степени −4: −4 = logₐ a⁻⁴, а a⁻⁴ = 1/a⁴. Ограничения ② и ③ — это ОДЗ: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Отрицательная степень переворачивается в дробь, а показатель чётный, поэтому (4 − x)⁴ = (x − 4)⁴ — у обеих дробей в скобке общий знаменатель. Корни числителя 0 и 3 закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва 4 — чётной кратности 4: петелька, знак через неё не меняется, сама точка выколота по ОДЗ.

1 (4 - x - 1) (\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{4}} - {(4 - x)}^{- 4}) \geq 0

4 - x - 1 = 3 - x

{(4 - x)}^{- 4} = \frac{1}{{(4 - x)}^{4}} = \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}

\frac{x + 1}{{(x - 4)}^{4}} - \frac{1}{{(x - 4)}^{4}} = \frac{x}{{(x - 4)}^{4}}

(3 - x) \cdot \frac{x}{{(x - 4)}^{4}} \geq 0

\frac{(3 - x) x}{{(x - 4)}^{4}} \geq 0

Чётная степень: (4 − x)⁴ = (x − 4)⁴, поэтому в скобке остаётся (x + 1 − 1)/(x − 4)⁴ = x/(x − 4)⁴. Пробная точка x = 1: (3 − 1)·1/(1 − 4)⁴ = 2/81 > 0 — знак «+» на интервале (0; 3), через простые корни знаки чередуются. Минус в (3 − x) трогать не нужно: знаки расставляются прямо в этой форме. Решение ①: [0; 3].

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице.

2 4 - x > 0, 4 - x \neq 1

x < 4, x \neq 3

Точка x = 3 выколота условием «основание ≠ 1». Знак выражения 4 − x через неё не меняется — слева и справа от неё стоит один и тот же плюс. Решение ②: (−∞; 3) ∪ (3; 4).

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент логарифма положителен. Знаменатель (x − 4)⁴ положителен всюду, кроме x = 4, поэтому знак дроби задаёт числитель.

3 \frac{x + 1}{{(x - 4)}^{4}} > 0

x + 1 > 0, x \neq 4

Чётная степень (x − 4)⁴ неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 4, поэтому дробь положительна ровно там, где положителен числитель, кроме самой точки 4. Решение ③: (−1; 4) ∪ (4; +∞).

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② выкалывает точку 3, ограничение ③ поднимает левую границу до −1.

Точка 0 закрашена: там обе части исходного неравенства равны, log₄(1/256) = −4. Точка 3 выколота по ограничению ②, точки −1 и 4 в ответ не входят.