условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент x² логарифма положителен при всех x, кроме нуля; аргумент 2x + 3 должен быть положителен.
Основание степени |x| положительно при x ≠ 0 — отдельного ограничения оно не даёт.
шаг 2.Приводим левую часть к одной величине
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₂ x² = 2 log₂ |x|, log₂ 9 = 2 log₂ 3. Тождество a^{log_b c} = c^{log_b a} превращает |x|^{log₂3} в 3^{log₂|x|}.
шаг 3.Приводим правую часть
Дробь 1/3 — это 3⁻¹, а логарифм по основанию 0,5 отличается от логарифма по основанию 2 только знаком. Два минуса дают плюс.
log₀,₅ A = log₂ A / log₂ 0,5 = −log₂ A.
шаг 4.Снимаем основание степени и логарифм
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
Проверка по Виета: для x² − 2x − 3 сумма корней должна равняться 2, произведение — −3. У нас 3 + (−1) = 2 и 3 · (−1) = −3 — оба сходятся.
шаг 5.Метод интервалов
Корни −1 и 3 закрашены (нестрогое ≤). Пересекаем с ОДЗ: точка x = 0 выколота, а левая граница ОДЗ x > −1,5 слабее найденного условия.
Парабола ветвями вверх, корни закрашены: трёхчлен неположителен между корнями. Проверка: x = 1 ⇒ слева 3 + 2 = 5, справа 5 · 3^{log₂5} ≈ 65 ✓. Проверка: x = −1 ⇒ слева 5, справа 5 · 3⁰ = 5, нестрогое ≤ выполняется ✓. Проверка: x = 4 ⇒ слева 405, справа ≈ 234 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.