Задача 10151458 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Приводим к одному основанию

Обозначим A = x² − 2x − 3. Логарифм по основанию √A вдвое больше логарифма по основанию A, а чётный показатель степени справа выносится с модулем. После деления обеих частей на 2 остаются логарифмы по одному основанию A.

A = x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)

\log_{\sqrt{A}} \frac{x + 4}{x + 1} = 2 \log_{A} \frac{x + 4}{x + 1}

\log_{A} {(x^{2} - 2 x - 2)}^{2} = 2 \log_{A} | x^{2} - 2 x - 2 |

1 + \log_{A} \frac{x + 4}{x + 1} \geq \log_{A} | x^{2} - 2 x - 2 |

log_{√A} B = log_A B / log_A √A = 2 log_A B. Деление обеих частей на положительную двойку знак неравенства не меняет.

шаг 2.Сворачиваем левую часть

Единицу записываем как log_A A и складываем с соседним логарифмом. В произведении сокращается множитель (x + 1), который по ОДЗ не равен нулю.

A \cdot \frac{x + 4}{x + 1} = \frac{(x - 3) (x + 1) (x + 4)}{x + 1} = (x - 3) (x + 4) = x^{2} + x - 12

\log_{A} (x^{2} + x - 12) \geq \log_{A} | x^{2} - 2 x - 2 |

Сокращение (x + 1) допустимо: по ОДЗ аргумент (x + 4)/(x + 1) определён, значит x ≠ −1 — делитель не равен нулю, корень не теряем. На ОДЗ (см. следующий шаг) выполнено x < −4 или x > 3, и там x² − 2x − 2 > 0, поэтому модуль можно снять.

шаг 3.Метод рационализации

Основание A зависит от x, поэтому переходим к разности аргументов методом рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

A - 1 = x^{2} - 2 x - 4

(x^{2} + x - 12) - (x^{2} - 2 x - 2) = 3 x - 10

{\begin{matrix} (x^{2} - 2 x - 4) (3 x - 10) \geq 0 & 1 \\ x^{2} - 2 x - 3 > 0, x^{2} - 2 x - 4 \neq 0 & 2 \\ \frac{x + 4}{x + 1} > 0 & 3 \end{matrix}

Условие ② — основание A положительно и не равно единице, условие ③ — аргумент левого логарифма положителен. Аргумент (x² − 2x − 2)² положителен всюду, кроме x = 1 ± √3; обе эти точки лежат внутри отрезка [−1; 3], который ограничение ② и так убирает.

шаг 4.Неравенство ①

Первый множитель раскладываем через дискриминант.

D = {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4) = 4 + 16 = 20

x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2} \begin{matrix} = 1 + \sqrt{5} \\ = 1 - \sqrt{5} \end{matrix}

1 (x - 1 - \sqrt{5}) (x - 1 + \sqrt{5}) (3 x - 10) \geq 0

Все три корня закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 0 на интервале (1 − √5; 1 + √5): (0 − 0 − 4)(0 − 10) = (−4)(−10) = 40 > 0 — знак «+»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: [1 − √5; 1 + √5] ∪ [10/3; +∞).

шаг 5.Ограничение ②

Основание A положительно и не равно единице.

2 (x - 3) (x + 1) > 0, x^{2} - 2 x - 4 \neq 0

x < - 1 или x > 3, x \neq 1 \pm \sqrt{5}

Точка 1 − √5 ≈ −1,24 лежит левее −1, а 1 + √5 ≈ 3,24 — правее тройки; обе выколоты, потому что там основание обращается в единицу. Решение ②: (−∞; 1 − √5) ∪ (1 − √5; −1) ∪ (3; 1 + √5) ∪ (1 + √5; +∞).

шаг 6.Ограничение ③

Аргумент левого логарифма положителен: дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака.

3 \frac{x + 4}{x + 1} > 0

Обе точки выколоты: в −4 числитель равен нулю (аргумент логарифма обращается в ноль), в −1 знаменатель. Решение ③: (−∞; −4) ∪ (−1; +∞).

шаг 7.Пересечение

Сводим три оси в одну. Левый кусок решения ① лежит между 1 − √5 и −1, но ограничение ③ требует там x < −4 — общих точек нет. Остаётся правая часть.

Между 1 + √5 ≈ 3,24 и 10/3 ≈ 3,33 остаётся «дырка»: там неравенство ① не выполняется. Проверка: x = 3,1 ⇒ A = 0,41 < 1, слева 0,77, справа −0,77 ✓. Проверка: x = 3,3 ⇒ слева ≈ 6,16, справа ≈ 6,51 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓. Проверка: x = 4 ⇒ A = 5, слева ≈ 2,58, справа ≈ 2,23 ✓.