Задача 10151463 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Основание x + 1 зависит от x, поэтому переходим к разности аргументов методом рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

{\begin{matrix} ((x + 1) - 1) ((x^{2} - 5 x + 7) - x) \leq 0 & 1 \\ x + 1 > 0, x + 1 \neq 1, x > 0 & 2 \\ x^{2} - 5 x + 7 > 0 & 3 \end{matrix}

Условие ② — основание положительно и не равно единице, а аргумент x правого логарифма положителен. Условие ③ — положительность аргумента левого логарифма.

шаг 2.Неравенство ①

Приводим подобные во второй скобке и раскладываем трёхчлен через дискриминант.

1 x (x^{2} - 6 x + 7) \leq 0

D = {(- 6)}^{2} - 4 \cdot 7 = 36 - 28 = 8

x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{2} \begin{matrix} = 3 + \sqrt{2} \\ = 3 - \sqrt{2} \end{matrix}

x (x - 3 + \sqrt{2}) (x - 3 - \sqrt{2}) \leq 0

Все три корня закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 3 на интервале (3 − √2; 3 + √2): 3 · (9 − 18 + 7) = 3 · (−2) = −6 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: (−∞; 0] ∪ [3 − √2; 3 + √2].

шаг 3.Ограничения ② и ③

Условие ② сводится к x > 0: оно сильнее обоих условий на основание. Условие ③ выполняется при любом x — у трёхчлена отрицательный дискриминант.

2 x > - 1, x \neq 0, x > 0 ⟺ x > 0

3 D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 7 = 25 - 28 = - 3 < 0

x^{2} - 5 x + 7 > 0 при любом x

У трёхчлена x² − 5x + 7 ветви параболы вверх и D < 0, поэтому он положителен при любом x — отдельной оси условие ③ не требует. Решение ②: x > 0.

шаг 4.Пересечение

Сводим оси в одну. Левый луч решения ① целиком лежит вне ②, поэтому остаётся только отрезок между корнями.

Проверка: x = 3 ⇒ основание 4, слева log₄ 1 = 0, справа log₄ 3 ≈ 0,79 ✓. Проверка: x = 1 ⇒ основание 2, слева log₂ 3 ≈ 1,58, справа log₂ 1 = 0 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.