Задача 10151440 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{7 - x} (2 x + 3) \cdot \log_{2 x + 3} (3 x^{2}) \leq \log_{7 - x} (3 x + 4) \cdot \log_{3 x + 4} (10 x + 25)

шаг 1.Сворачиваем произведения логарифмов

И слева, и справа стоит цепочка «логарифм по основанию 7 − x, умноженный на логарифм по основанию его же аргумента». По формуле перехода к новому основанию логарифма промежуточное основание сокращается.

\log_{7 - x} (2 x + 3) \cdot \log_{2 x + 3} (3 x^{2}) = \log_{7 - x} (3 x^{2})

\log_{7 - x} (3 x + 4) \cdot \log_{3 x + 4} (10 x + 25) = \log_{7 - x} (10 x + 25)

\log_{7 - x} (3 x^{2}) \leq \log_{7 - x} (10 x + 25)

Формула перехода к новому основанию логарифма: log_a b · log_b c = log_a c. Промежуточные основания 2x + 3 и 3x + 4 из записи исчезли, но их ограничения нужно сохранить.

шаг 2.Метод рационализации

Основание 7 − x зависит от x, поэтому переходим к разности аргументов методом рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ②, ③ и ④.

{\begin{matrix} ((7 - x) - 1) (3 x^{2} - (10 x + 25)) \leq 0 & 1 \\ 7 - x > 0, 7 - x \neq 1 & 2 \\ 2 x + 3 > 0, 2 x + 3 \neq 1, 3 x^{2} > 0 & 3 \\ 3 x + 4 > 0, 3 x + 4 \neq 1, 10 x + 25 > 0 & 4 \end{matrix}

Условие ② — основание общего логарифма положительно и не равно единице. Условия ③ и ④ — ОДЗ тех двух логарифмов, чьи основания сократились при свёртке.

шаг 3.Неравенство ①

Раскладываем квадратный трёхчлен через дискриминант.

1 (6 - x) (3 x^{2} - 10 x - 25) \leq 0

D = {(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 25) = 100 + 300 = 400

x = \frac{10 \pm \sqrt{400}}{6} = \frac{10 \pm 20}{6} \begin{matrix} = 5 \\ = - \frac{5}{3} \end{matrix}

(6 - x) (x - 5) (3 x + 5) \leq 0

Разложение 3x² − 10x − 25 = 3(x − 5)(x + 5/3) = (x − 5)(3x + 5) — тройку вносим во вторую скобку, чтобы оба корня остались видны. Все три корня закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 0 на интервале (−5/3; 5): (6 − 0)(0 − 5)(0 + 5) = 6 · (−5) · 5 = −150 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: [−5/3; 5] ∪ [6; +∞).

шаг 4.Ограничение ②

Основание общего логарифма положительно и не равно единице.

2 7 - x > 0, 7 - x \neq 1

x < 7, x \neq 6

Точка x = 6 выколота: там основание 7 − x обращается в единицу. Решение ②: (−∞; 6) ∪ (6; 7).

шаг 5.Ограничение ③

ОДЗ первого из сократившихся логарифмов: его основание положительно и не равно единице, а аргумент 3x² положителен.

3 2 x + 3 > 0, 2 x + 3 \neq 1, 3 x^{2} > 0

x > - 1,5, x \neq - 1, x \neq 0

Квадрат 3x² положителен при всех x, кроме нуля. Решение ③: (−1,5; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; +∞).

шаг 6.Ограничение ④

ОДЗ второго из сократившихся логарифмов. Условие 10x + 25 > 0 слабее остальных и в итог не попадает.

4 3 x + 4 > 0, 3 x + 4 \neq 1, 10 x + 25 > 0

x > - \frac{4}{3}, x \neq - 1, x > - 2,5

Оба запрета 2x + 3 ≠ 1 и 3x + 4 ≠ 1 дают одну и ту же точку x = −1. Решение ④: (−4/3; −1) ∪ (−1; +∞).

шаг 7.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Ограничение ④ поднимает левую границу отрезка с −5/3 до −4/3, ③ и ④ выкалывают внутри него точки −1 и 0, а ② превращает луч [6; +∞) в интервал (6; 7).

Проверка: x = 1 ⇒ слева log₆ 3 ≈ 0,61, справа log₆ 35 ≈ 1,98 — неравенство верно ✓. Проверка: x = 6,5 ⇒ основание 0,5 < 1, слева log₀,₅ 126,75 ≈ −6,99, справа log₀,₅ 90 ≈ −6,49 — неравенство верно ✓. Проверка: x = 5,5 ⇒ слева log₁,₅ 90,75 ≈ 11,13, справа log₁,₅ 80 ≈ 10,81 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

ответ

x \in (- \frac{4}{3}; - 1) \cup (- 1; 0) \cup (0; 5] \cup (6; 7)