условие

(x−1)logx+3⁡(x+2)⋅log3⁡(x+3)2≤0

шаг 1.Метод рационализации

Слева — произведение трёх множителей, два из которых логарифмы. Каждый логарифм заменяем рационализирующим произведениемМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
loga⁡f−loga⁡g(a−1)(f−g)a>0,a≠1,f,g>0af−ag(a−1)(f−g)a>0,a≠1|f|−|g|(f−g)(f+g)любыеf−gf−gf,g≥0
Множитель (a−1) задаёт направление: при a>1 он положителен (знак как у f−g), при 0<a<1 — отрицателен, знак переворачивается.
: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: неравенство ① и ограничения ② и ③.
(x−1)logx+3⁡(x+2)⋅log3⁡(x+3)2≤0⟺
{(x−1)(x+3−1)(x+2−1)(3−1)((x+3)2−1)≤01x+3>0,x+3≠12x+2>03

У первого логарифма основание x + 3 и аргумент x + 2 — он даёт множитель (x + 3 − 1)(x + 2 − 1). У второго основание постоянное, 3, а аргумент (x + 3)² — он даёт множитель (3 − 1)((x + 3)² − 1). Множитель (x − 1) логарифмом не является, его оставляем как есть. Ограничения ② и ③ — это ОДЗ первого логарифма; аргумент второго логарифма (x + 3)² положителен автоматически, как только x + 3 > 0.

шаг 2.Неравенство ①

Вычисляем каждую скобку и собираем множители. Корни −4, −1 и 1 закрашены (нестрогое ≤). Корень −2 — чётной кратности (множитель (x + 2)²): петелька, знак через точку не меняется, а сам он войдёт в решение ① изолированной точкой.

1(x−1)(x+3−1)(x+2−1)(3−1)((x+3)2−1)≤0
x+3−1=x+2
x+2−1=x+1
(x+3)2−1=(x+3−1)(x+3+1)=(x+2)(x+4)
2(x+4)(x+2)2(x+1)(x−1)≤0
−++−+①4−2−1−1
−∞
+∞
x
Разность квадратов: (x + 3)² − 1 = (x + 3 − 1)(x + 3 + 1). Пробная точка x = 0 на интервале (−1; 1): 2(0 + 4)(0 + 2)²(0 + 1)(0 − 1) = 2 · 4 · 4 · 1 · (−1) = −32 < 0 — знак «−». Через корни −4, −1 и 1 нечётной кратности знаки чередуются, через петельку −2 знак не меняется. Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
 Решение ①: (−∞; −4] ∪ {−2} ∪ [−1; 1].

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание первого логарифма положительно и не равно единице.

2x+3>0,x+3≠1
x>−3,x≠−2
−++②3−2−
−∞
+∞
x

Точка x = −2 выколота: там основание x + 3 обращается в единицу и логарифм не определён. Знак самого выражения x + 3 через неё не меняется. Решение ②: (−3; −2) ∪ (−2; +∞).

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент первого логарифма положителен.

3x+2>0
x>−2
−+③2−
−∞
+∞
x

Решение ③: x > −2.

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ③ (x > −2) отрезает у решения ① и левый луч, и изолированную точку x = −2 — остаётся только отрезок от −1 до 1.

①4−2−1−1
−∞
+∞
x
②3−2−
−∞
+∞
x
③2−
−∞
+∞
x
пересечение4−3−2−1−1
−∞
+∞
x

Точка x = −1 закрашена: там аргумент первого логарифма равен 1, сам логарифм равен нулю, и всё произведение обращается в ноль. Проверка: x = 0 ⇒ (0 − 1) · log₃ 2 · log₃ 9 = (−1) · log₃ 2 · 2 < 0 ✓.

ответ

x∈[−1;1]
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -