Задача 10151457 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Снимаем модуль

Слева и справа стоит одно и то же выражение — под модулем и без него. Модуль числа всегда не меньше самого числа, поэтому неравенство |A| ≤ A возможно только при |A| = A, то есть при A ≥ 0.

«|A| ≤ A» равносильно «A ≥ 0».

1 - \log_{2 x} (x^{2} - 5 x + 6) \geq 0

\log_{2 x} (x^{2} - 5 x + 6) \leq 1

Если A < 0, то |A| = −A > 0 > A и неравенство нарушается; если A ≥ 0, то |A| = A и получается верное A ≤ A.

шаг 2.Метод рационализации

Единицу справа записываем логарифмом по тому же основанию и применяем метод рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③.

1 = \log_{2 x} (2 x)

{\begin{matrix} (2 x - 1) ((x^{2} - 5 x + 6) - 2 x) \leq 0 & 1 \\ 2 x > 0, 2 x \neq 1 & 2 \\ x^{2} - 5 x + 6 > 0 & 3 \end{matrix}

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице, условие ③ — аргумент положителен.

шаг 3.Неравенство ①

Приводим подобные во второй скобке и раскладываем квадратный трёхчлен по теореме Виета.

1 (2 x - 1) (x^{2} - 7 x + 6) \leq 0

(2 x - 1) (x - 1) (x - 6) \leq 0

Проверка по Виета: для x² − 7x + 6 сумма корней должна равняться 7, произведение — 6. У нас 1 + 6 = 7 и 1 · 6 = 6 — оба сходятся. Все три корня закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 0,5): (0 − 1)(0 − 1)(0 − 6) = (−1)(−1)(−6) = −6 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: (−∞; 0,5] ∪ [1; 6].

шаг 4.Ограничение ②

Основание логарифма положительно и не равно единице.

2 2 x > 0, 2 x \neq 1

x > 0, x \neq 0,5

Точка x = 0,5 выколота: там основание 2x обращается в единицу. Решение ②: (0; 0,5) ∪ (0,5; +∞).

шаг 5.Ограничение ③

Аргумент логарифма положителен.

3 x^{2} - 5 x + 6 > 0

(x - 2) (x - 3) > 0

Проверка по Виета: для x² − 5x + 6 сумма корней должна равняться 5, произведение — 6. У нас 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6 — оба сходятся. Парабола ветвями вверх, корни выколоты (строгое >): трёхчлен положителен вне корней. Решение ③: (−∞; 2) ∪ (3; +∞).

шаг 6.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② обрезает левый луч по нулю и открывает границу 0,5, а ограничение ③ вырезает из отрезка [1; 6] промежуток [2; 3].

Проверка: x = 0,25 ⇒ основание 0,5, аргумент 4,8125, log₀,₅ 4,8125 ≈ −2,27 ≤ 1 ✓. Проверка: x = 5 ⇒ основание 10, аргумент 6, lg 6 ≈ 0,78 ≤ 1 ✓. Проверка: x = 0,75 ⇒ основание 1,5, аргумент 2,8125, log₁,₅ 2,8125 ≈ 2,55 > 1 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.