Задача 10151538 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент логарифма положителен. Сам логарифм громоздкий — обозначим его буквой L.

ОДЗ

L = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{2} - x)

\frac{1}{2} - x > 0 ⟺ x < \frac{1}{2}

Других ограничений нет: основание 1/3 положительно и не равно единице, а знаменателей в выражении нет.

шаг 2.Раскрываем модуль

Нуль подмодульного выражения — точка x = 0, она делит ОДЗ на два случая. В каждом случае выносим x за скобку — так виден множитель, знак которого и решает дело.

| x | - x L \leq 0

| x | = {\begin{matrix} x, & x \geq 0 \\ - x, & x < 0 \end{matrix}

x \geq 0 : x - x L = x (1 - L)

x < 0 : - x - x L = - x (1 + L)

В первом случае за скобку вынесен x, во втором — множитель −x, который на этом промежутке положителен.

шаг 3.Случай 1: 0 ≤ x < 1/2

Произведение x(1 − L) неположительно. При x = 0 оно равно нулю, а при x > 0 делим на x и получаем условие на L. Основание 1/3 меньше единицы, логарифм убывает, поэтому при снятии логарифмов знак переворачивается.

x (1 - L) \leq 0

1) x = 0 : 0 \leq 0 — верно

2) x > 0 : 1 - L \leq 0 ⟺ L \geq 1

\log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{2} - x) \geq \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}

\frac{1}{2} - x \leq \frac{1}{3}

x \geq \frac{1}{6}

Единицу в правой части записали как log_{1/3}(1/3) — это степень основания с показателем 1. Из 1/2 − x ≤ 1/3 получаем −x ≤ −1/6, то есть x ≥ 1/6. Оси показывают только пункт 2). Точка x = 0 из пункта 1) в промежуток [1/6; 1/2) не попадает и войдёт в ответ отдельно.

шаг 4.Случай 2: x < 0

Здесь множитель −x строго положителен, поэтому на него можно разделить: неравенство равносильно условию на второй множитель. Логарифм по основанию 1/3 убывает, знак снова переворачивается.

- x (1 + L) \leq 0

x < 0 ⟹ - x > 0

1 + L \leq 0 ⟺ L \leq - 1

\log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{2} - x) \leq \log_{\frac{1}{3}} 3

\frac{1}{2} - x \geq 3

- x \geq 2,5 ⟺ x \leq - 2,5

Минус единицу в правой части записали как log_{1/3}3: действительно, (1/3)⁻¹ = 3. Полученный луч x ≤ −2,5 целиком лежит левее нуля, поэтому условие случая ничего не отсекает.

шаг 5.Объединение случаев

Случаи разбирались по знаку x, поэтому их результаты объединяем. Из первого случая приходят точка x = 0 и промежуток [1/6; 1/2), из второго — луч x ≤ −2,5.

Точка x = 0 остаётся в ответе изолированной: соседние точки промежутка (0; 1/6) в решение не входят, а при x = 0 всё выражение обращается в ноль. Правая граница 1/2 выколота по ОДЗ: там аргумент логарифма обращается в ноль. Левая граница −2,5 закрашена: при этом значении логарифм равен ровно −1 и неравенство обращается в равенство.