Задача 10151512 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны, основание степени |x| — тоже.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} > 0 \\ | x | > 0 \\ x + 6 > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x > - 6 \end{matrix}

Степень с произвольным действительным показателем степени определена только при положительном основании степени, поэтому нужно |x| > 0. Условия x² > 0 и |x| > 0 равносильны одному и тому же x ≠ 0.

шаг 2.Оба слагаемых слева одинаковы

Второе слагаемое приводим к основанию степени 2. Записываем |x| по основному логарифмическому тождеству как 5 в степени log₅|x| — после этого множители в показателе степени можно поменять местами.

| x |^{\log_{5} 4} = {(5^{\log_{5} | x |})}^{\log_{5} 4} = 5^{\log_{5} | x | \cdot \log_{5} 4} =

= {(5^{\log_{5} 4})}^{\log_{5} | x |} = 4^{\log_{5} | x |}

4^{\log_{5} | x |} = {(2^{2})}^{\log_{5} | x |} = 2^{2 \log_{5} | x |} = 2^{\log_{5} x^{2}}

2^{\log_{5} x^{2}} + | x |^{\log_{5} 4} = 2 \cdot 2^{\log_{5} x^{2}}

Основное логарифмическое тождество: a в степени logₐb равно b (при b > 0). 2 log₅|x| = log₅|x|² = log₅x² — под чётной степенью модуль исчезает. Оба слагаемых левой части оказались равны, поэтому их сумма — удвоенное первое.

шаг 3.Приводим правую часть к основанию степени 2

Основание логарифма 0,2 — это 5⁻¹, поэтому log₀,₂ отличается от log₅ только знаком. Само основание степени 1/2 — это 2⁻¹, и два минуса в показателе степени дают плюс.

0,2 = \frac{1}{5} = 5^{- 1} ⟹ \log_{0,2} (x + 6) = - \log_{5} (x + 6)

{(\frac{1}{2})}^{\log_{0,2} (x + 6)} = {(2^{- 1})}^{- \log_{5} (x + 6)} = 2^{\log_{5} (x + 6)}

2 \cdot 2^{\log_{5} x^{2}} \leq 2 \cdot 2^{\log_{5} (x + 6)}

Переход к новому основанию логарифма: log_{aᵏ}b = (1/k) · logₐb. При k = −1 получаем log_{1/a}b = −logₐb.

шаг 4.Снимаем основание степени

Делим обе части на 2 > 0 и сравниваем показатели степени: функция 2ᵗ возрастает (основание степени 2 > 1), поэтому знак неравенства сохраняется.

2 \cdot 2^{\log_{5} x^{2}} \leq 2 \cdot 2^{\log_{5} (x + 6)} | : 2

2^{\log_{5} x^{2}} \leq 2^{\log_{5} (x + 6)}

\log_{5} x^{2} \leq \log_{5} (x + 6)

шаг 5.Снимаем логарифм и решаем неравенство

Логарифм по основанию 5 > 1 возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется. Положительность обоих аргументов уже записана в ОДЗ, лишних решений не появится.

\log_{5} x^{2} \leq \log_{5} (x + 6)

x^{2} \leq x + 6

x^{2} - x - 6 \leq 0

(x + 2) (x - 3) \leq 0

По теореме Виета для x² − x − 6 = 0: сумма корней равна 1, произведение равно −6. Подбираем x₁ = −2 и x₂ = 3, отсюда x² − x − 6 = (x + 2)(x − 3). Пробная точка x = 0: (0 + 2)(0 − 3) = −6 < 0 — знак «−» на среднем интервале, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤).

шаг 6.Пересечение с ОДЗ

Из отрезка [−2; 3] выбрасываем точку x = 0 — там не определены ни log₅x², ни степень с основанием степени |x|. Условие x > −6 выполняется автоматически.

Граница ОДЗ x = −6 лежит далеко левее отрезка [−2; 3] и на ответ не влияет. Точка x = 0 лежит внутри отрезка, поэтому он распадается на два промежутка.

условие