Задача 10151430 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{x - 3} (x^{2} - 12 x + 36) \leq 0 ⟺

{\begin{matrix} ((x - 3) - 1) ((x^{2} - 12 x + 36) - 1) \leq 0 & 1 \\ x - 3 > 0 & 2 \\ x - 3 \neq 1 & 3 \\ x^{2} - 12 x + 36 > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = x − 3, аргумент g = x² − 12x + 36. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Приводим подобные в обеих скобках, получившийся трёхчлен раскладываем по теореме Виета.

1 ((x - 3) - 1) ((x^{2} - 12 x + 36) - 1) \leq 0

(x - 4) (x^{2} - 12 x + 35) \leq 0

(x - 4) (x - 5) (x - 7) \leq 0

По теореме Виета для x² − 12x + 35 = 0 сумма корней должна равняться 12, произведение — 35. Подбираем 5 и 7, отсюда x² − 12x + 35 = (x − 5)(x − 7). Корни левой части 4, 5 и 7 закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 4): (0 − 4)(0 − 5)(0 − 7) = (−4) · (−5) · (−7) = −140 < 0 — знак «−»; все корни нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: (−∞; 4] ∪ [5; 7].

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 x - 3 > 0

x > 3

Решение ②: x > 3.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 x - 3 \neq 1

x \neq 4

При x = 4 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = 4.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен. Трёхчлен сворачивается в полный квадрат.

4 x^{2} - 12 x + 36 > 0

x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2} > 0

{(x - 6)}^{2} > 0 ⟺ x \neq 6

Чётная степень (x − 6)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x − 6 = 0, поэтому (x − 6)² > 0 равносильно x ≠ 6. Решение ④: вся ось, кроме x = 6.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Условие ② обрезает левый луч в точке x = 3, условие ③ выкалывает x = 4, условие ④ — x = 6.

Точки x = 5 и x = 7 закрашены: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≤ выполняется. Точка x = 6 выколота — в ней аргумент обращается в ноль. Проверка: x = 3,5 ⇒ основание 0,5 < 1, аргумент 12,25 − 42 + 36 = 6,25 > 1, логарифм отрицателен ✓.

условие