Задача 10151544 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\log_{4 - x} (x + 5) \cdot \log_{x + 1} (\log_{2} 10 - x)}{\sin x \cdot \log_{x} (2 x)} \leq 0

шаг 1.Метод рационализации

Знак дроби — знак произведения числителя и знаменателя. Все три логарифма заменяем рационализирующими выражениями: logₐ f имеет тот же знак, что (a − 1)(f − 1). Синус трогать нельзя — его знак определим отдельно. Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничение ②.

\log_{4 - x} (x + 5) \to (3 - x) (x + 4)

\log_{x + 1} (\log_{2} 10 - x) \to x (\log_{2} 5 - x)

\log_{x} (2 x) \to (x - 1) (2 x - 1)

{\begin{matrix} \frac{(3 - x) (x + 4) \cdot x (\log_{2} 5 - x)}{\sin x \cdot (x - 1) (2 x - 1)} \leq 0 & 1 \\ 4 - x > 0, 4 - x \neq 1, x + 5 > 0 & 2 \\ x + 1 > 0, x + 1 \neq 1, \log_{2} 10 - x > 0 \\ x > 0, x \neq 1, 2 x \neq 1, \sin x \neq 0 \end{matrix}

log₂10 − x − 1 = log₂10 − log₂2 − x = log₂5 − x. Условие ② занимает три строки — это ОДЗ трёх логарифмов и запрет на нулевой знаменатель. Разбираем его в следующем шаге: оно резко сужает область, и внутри неё знак синуса становится определённым.

шаг 2.Ограничение ②

Собираем ОДЗ: у логарифмов основания положительны и не равны единице, аргументы положительны; знаменатель дроби не обращается в ноль.

2 4 - x > 0, 4 - x \neq 1, x + 5 > 0

x + 1 > 0, x + 1 \neq 1, \log_{2} 10 - x > 0

x > 0, x \neq 1, 2 x \neq 1, \sin x \neq 0

0 < x < \log_{2} 10, x \neq 0,5, x \neq 1, x \neq 3, x \neq π

log₂10 ≈ 3,32, поэтому вся область умещается между нулём и этим числом. Синус обращается в ноль только в точках 0 и π ≈ 3,14, обе попадают в границы области. Точка x = 3 выколота: там основание 4 − x обращается в единицу; точка x = 0,5 — там log_x(2x) обращается в ноль. Решение ②: (0; log₂10) без точек 0,5, 1, 3 и π.

шаг 3.Неравенство ① внутри области

На области x > 0 множители x + 4 и x положительны и на знак не влияют. Синус положителен на (0; π) и отрицателен на (π; log₂10). Остальные множители обычные линейные.

1 \frac{(3 - x) (\log_{2} 5 - x)}{\sin x \cdot (x - 1) (2 x - 1)} \leq 0

Вне области (0; log₂10) выражение не определено, поэтому знаки там не ставим. Пробная точка x = 0,75 на интервале (0,5; 1): числитель (3 − 0,75)(2,32 − 0,75) ≈ 3,53 > 0, знаменатель sin 0,75 · (−0,25) · 0,5 ≈ −0,085 < 0 — знак «−». Через точку π знак меняет синус: правее неё он отрицателен. Корень log₂5 закрашен (нестрогое ≤), остальные точки выколоты.

шаг 4.Пересечение

Область ② задаёт границы, а знаки ① внутри неё дают три куска ответа.

Проверка: x = 2,5 ⇒ числитель ≈ −0,78, знаменатель ≈ 1,05, дробь ≈ −0,74 ≤ 0 ✓. Проверка: x = 3,2 ⇒ синус отрицателен, дробь ≈ −148 ≤ 0 ✓. Проверка: x = 1,5 ⇒ дробь ≈ 0,50 > 0 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

ответ

x \in (0,5; 1) \cup [\log_{2} 5; 3) \cup (π; \log_{2} 10)