Задача 10151424 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Минус десять справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ② и ③.

\log_{5 - x} \frac{x + 4}{{(x - 5)}^{10}} \geq \log_{5 - x} {(5 - x)}^{- 10} ⟺

{\begin{matrix} (5 - x - 1) (\frac{x + 4}{{(x - 5)}^{10}} - {(5 - x)}^{- 10}) \geq 0 & 1 \\ 5 - x > 0, 5 - x \neq 1 & 2 \\ \frac{x + 4}{{(x - 5)}^{10}} > 0 & 3 \end{matrix}

Минус десять — это логарифм основания в степени −10: −10 = logₐ a⁻¹⁰, а a⁻¹⁰ = 1/a¹⁰. Ограничения ② и ③ — это ОДЗ: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Отрицательная степень переворачивается в дробь, а показатель чётный, поэтому (5 − x)¹⁰ = (x − 5)¹⁰ — у обеих дробей в скобке общий знаменатель. Корни числителя −3 и 4 закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва 5 — чётной кратности 10: петелька, знак через неё не меняется, сама точка выколота по ОДЗ.

1 (5 - x - 1) (\frac{x + 4}{{(x - 5)}^{10}} - {(5 - x)}^{- 10}) \geq 0

5 - x - 1 = 4 - x

{(5 - x)}^{- 10} = \frac{1}{{(5 - x)}^{10}} = \frac{1}{{(x - 5)}^{10}}

\frac{x + 4}{{(x - 5)}^{10}} - \frac{1}{{(x - 5)}^{10}} = \frac{x + 3}{{(x - 5)}^{10}}

(4 - x) \cdot \frac{x + 3}{{(x - 5)}^{10}} \geq 0

\frac{(4 - x) (x + 3)}{{(x - 5)}^{10}} \geq 0

Чётная степень: (5 − x)¹⁰ = (x − 5)¹⁰, поэтому в скобке остаётся (x + 4 − 1)/(x − 5)¹⁰ = (x + 3)/(x − 5)¹⁰. Пробная точка x = 0: (4 − 0)(0 + 3)/(0 − 5)¹⁰ = 12/5¹⁰ > 0 — знак «+» на интервале (−3; 4), через простые корни знаки чередуются. Минус в (4 − x) трогать не нужно: знаки расставляются прямо в этой форме. Решение ①: [−3; 4].

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице.

2 5 - x > 0, 5 - x \neq 1

x < 5, x \neq 4

Точка x = 4 выколота условием «основание ≠ 1». Знак выражения 5 − x через неё не меняется — слева и справа от неё стоит один и тот же плюс. Решение ②: (−∞; 4) ∪ (4; 5).

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент логарифма положителен. Знаменатель (x − 5)¹⁰ положителен всюду, кроме x = 5, поэтому знак дроби задаёт числитель.

3 \frac{x + 4}{{(x - 5)}^{10}} > 0

x + 4 > 0, x \neq 5

Чётная степень (x − 5)¹⁰ неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 5, поэтому дробь положительна ровно там, где положителен числитель, кроме самой точки 5. Решение ③: (−4; 5) ∪ (5; +∞).

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② выкалывает точку 4, ограничение ③ поднимает левую границу до −4.

Точка −3 закрашена: там обе части исходного неравенства равны, log₈(1/8¹⁰) = −10. Точка 4 выколота по ограничению ②, точки −4 и 5 в ответ не входят.