Задача 10151448 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Правая часть

Основание справа — точный квадрат: (4 − x)² = (x − 4)² = |x − 4|². Чётный показатель степени выносится с модулем, и логарифм числа по квадрату этого же числа равен одной второй. Вся правая часть равна единице.

{(4 - x)}^{2} = {(x - 4)}^{2} = | x - 4 |^{2}

2 \log_{| x - 4 |^{2}} | x - 4 | = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_{| x - 4 |} | x - 4 | = 1

\log_{x + 8} (x^{2} - 3 x - 4) < 1

log_{b²} b = ln b / (2 ln b) = 1/2. Преобразование законно, пока |x − 4| > 0 и |x − 4| ≠ 1; эти условия уйдут в ограничение ④.

шаг 2.Метод рационализации

Единицу справа записываем логарифмом по тому же основанию — теперь обе части однотипны, и работает метод рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ②, ③ и ④.

1 = \log_{x + 8} (x + 8)

{\begin{matrix} ((x + 8) - 1) ((x^{2} - 3 x - 4) - (x + 8)) < 0 & 1 \\ x + 8 > 0, x + 8 \neq 1 & 2 \\ x^{2} - 3 x - 4 > 0 & 3 \\ | x - 4 | > 0, | x - 4 | \neq 1 & 4 \end{matrix}

Условия ② и ③ — ОДЗ левого логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен. Условие ④ — ОДЗ правого логарифма, того самого, который мы свернули в единицу.

шаг 3.Неравенство ①

Приводим подобные во второй скобке и раскладываем квадратный трёхчлен по теореме Виета.

1 (x + 7) (x^{2} - 4 x - 12) < 0

(x + 7) (x - 6) (x + 2) < 0

Проверка по Виета: для x² − 4x − 12 сумма корней должна равняться 4, произведение — −12. У нас 6 + (−2) = 4 и 6 · (−2) = −12 — оба сходятся. Все три корня выколоты (строгое <). Пробная точка x = 0 на интервале (−2; 6): (0 + 7)(0 − 6)(0 + 2) = 7 · (−6) · 2 = −84 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −7) ∪ (−2; 6).

шаг 4.Ограничение ②

Основание левого логарифма положительно и не равно единице.

2 x + 8 > 0, x + 8 \neq 1

x > - 8, x \neq - 7

Точка x = −7 выколота: там основание x + 8 обращается в единицу. Решение ②: (−8; −7) ∪ (−7; +∞).

шаг 5.Ограничение ③

Аргумент левого логарифма положителен.

3 x^{2} - 3 x - 4 > 0

(x - 4) (x + 1) > 0

Проверка по Виета: для x² − 3x − 4 сумма корней должна равняться 3, произведение — −4. У нас 4 + (−1) = 3 и 4 · (−1) = −4 — оба сходятся. Парабола ветвями вверх, корни выколоты (строгое >): трёхчлен положителен вне корней. Решение ③: (−∞; −1) ∪ (4; +∞).

шаг 6.Ограничение ④

Основание правого логарифма положительно и не равно единице.

4 | x - 4 | > 0, | x - 4 | \neq 1

x \neq 4, x - 4 \neq \pm 1

x \neq 3, x \neq 4, x \neq 5

Модуль обращается в ноль при x = 4 и в единицу при x = 3 и x = 5 — все три точки выколоты. Решение ④: вся ось, кроме точек 3, 4 и 5.

шаг 7.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Ограничение ② обрезает левый луч по x = −8, ограничение ③ разрывает интервал (−2; 6) на (−2; −1) и (4; 6), а ограничение ④ выкалывает внутри правого куска точку 5.

Точка x = 3 из ограничения ④ до итога не доходит — она и так вне ③. Проверка: x = −1,5 ⇒ log₆,₅ 2,75 ≈ 0,54 < 1 ✓. Проверка: x = 4,5 ⇒ log₁₂,₅ 2,75 ≈ 0,40 < 1 ✓. Проверка: x = 7 ⇒ log₁₅ 24 ≈ 1,17 > 1 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

условие