Задача 10151517 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Под логарифмами стоят sin³x и sin x. Нечётная степень знак не меняет, поэтому оба условия сводятся к одному.

ОДЗ

{\begin{matrix} \sin^{3} x > 0 \\ \sin x > 0 \end{matrix} ⟺ \sin x > 0

Синус ограничен сверху единицей, поэтому на ОДЗ 0 < sin x ≤ 1. Это понадобится при замене.

шаг 2.Приводим логарифмы к основанию 2

Показатель степени 3 выносим из-под логарифма, затем переходим от основания 4 к основанию 2.

\log_{4} (\sin^{3} x) = 3 \log_{4} (\sin x) =

= \frac{3 \log_{2} (\sin x)}{\log_{2} 4} = \frac{3}{2} \log_{2} (\sin x)

Формула перехода к новому основанию: logₐ b = log_c b : log_c a. Здесь log₂4 = 2.

шаг 3.Замена t = log₂(sin x)

Логарифм по основанию 2 > 1 возрастает, поэтому из 0 < sin x ≤ 1 следует t ≤ log₂1 = 0. Подставляем и получаем квадратное неравенство.

t = \log_{2} (\sin x), t \leq 0

4 {(\frac{3}{2} t)}^{2} + 8 t \geq 1

9 t^{2} + 8 t \geq 1

9 t^{2} + 8 t - 1 \geq 0

шаг 4.Метод интервалов в t

Раскладываем трёхчлен через дискриминант. Выноска слева — условие замены t ≤ 0; точка t = 0 в него входит, поэтому закрашена.

9 t^{2} + 8 t - 1 = 0

D = 8^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 1) = 64 + 36 = 100

t = \frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{18} = \frac{- 8 \pm 10}{18} \begin{matrix} = \frac{1}{9} \\ = - 1 \end{matrix}

9 (t + 1) (t - \frac{1}{9}) \geq 0

Пробная точка t = 0: 9·0² + 8·0 − 1 = −1 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Корни закрашены (нестрогое ≥). Ветвь t ≥ 1/9 целиком вне условия t ≤ 0, поэтому остаётся только t ≤ −1.

шаг 5.Обратная замена

Возвращаемся к x. Основание логарифма 2 > 1, логарифм возрастает — знак неравенства сохраняется. Условие sin x > 0 из ОДЗ добавляем к полученному ограничению.

t \leq - 1

\log_{2} (\sin x) \leq - 1

\log_{2} (\sin x) \leq \log_{2} \frac{1}{2}

\sin x \leq \frac{1}{2}

0 < \sin x \leq \frac{1}{2}

Свободный член −1 записываем как log₂(1/2) — так обе части становятся логарифмами по одному основанию.

шаг 6.Записываем серии решений

Синус положителен на промежутках (2πn; π + 2πn), а значение 1/2 принимает в точках π/6 и 5π/6. Внутри каждого такого промежутка условие 0 < sin x ≤ 1/2 выполняется на двух крайних кусках.

\sin x > 0 ⟺ 2 π n < x < π + 2 π n

\sin x = \frac{1}{2} ⟺ [\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + 2 π n \\ x = \frac{5 π}{6} + 2 π n \end{matrix}

[\begin{matrix} 2 π n < x \leq \frac{π}{6} + 2 π n \\ \frac{5 π}{6} + 2 π n \leq x < π + 2 π n \end{matrix} n \in ℤ

На куске (2πn; π/6 + 2πn] синус растёт от 0 до 1/2, на куске [5π/6 + 2πn; π + 2πn) — убывает от 1/2 до 0. Между ними синус больше 1/2, и неравенство не выполняется. Концы 2πn и π + 2πn выколоты: там sin x = 0, что запрещено ОДЗ.

условие