Задача 10151426 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{6 x^{2} + x - 1} (3 x^{2} - 7 x + 3) \geq 0

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{6 x^{2} + x - 1} (3 x^{2} - 7 x + 3) \geq 0 ⟺

{\begin{matrix} ((6 x^{2} + x - 1) - 1) ((3 x^{2} - 7 x + 3) - 1) \geq 0 & 1 \\ 6 x^{2} + x - 1 > 0 & 2 \\ 6 x^{2} + x - 1 \neq 1 & 3 \\ 3 x^{2} - 7 x + 3 > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = 6x² + x − 1, аргумент g = 3x² − 7x + 3. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Приводим подобные в обеих скобках и раскладываем каждый трёхчлен через дискриминант.

1 ((6 x^{2} + x - 1) - 1) ((3 x^{2} - 7 x + 3) - 1) \geq 0

(6 x^{2} + x - 2) (3 x^{2} - 7 x + 2) \geq 0

6 x^{2} + x - 2 = 0

D = 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 2) = 1 + 48 = 49

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{- 1 \pm 7}{12} \begin{matrix} = 0,5 \\ = - \frac{2}{3} \end{matrix}

6 x^{2} + x - 2 = 6 (x + \frac{2}{3}) (x - 0,5)

3 x^{2} - 7 x + 2 = 0

D = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25

x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6} \begin{matrix} = 2 \\ = \frac{1}{3} \end{matrix}

3 x^{2} - 7 x + 2 = 3 (x - \frac{1}{3}) (x - 2)

6 (x + \frac{2}{3}) (x - 0,5) \cdot 3 (x - \frac{1}{3}) (x - 2) \geq 0

Корни левой части −2/3, 1/3, 0,5 и 2 закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка x = 0 на интервале (−2/3; 1/3): 6(0 + 2/3)(0 − 0,5) · 3(0 − 1/3)(0 − 2) = (−2) · 2 = −4 < 0 — знак «−»; все корни нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −2/3] ∪ [1/3; 0,5] ∪ [2; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно. Трёхчлен раскладываем через дискриминант.

2 6 x^{2} + x - 1 > 0

D = 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 1) = 1 + 24 = 25

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{- 1 \pm 5}{12} \begin{matrix} = \frac{1}{3} \\ = - 0,5 \end{matrix}

6 (x + 0,5) (x - \frac{1}{3}) > 0

Корни −0,5 и 1/3 выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх, поэтому трёхчлен положителен вне корней. Решение ②: x < −0,5 или x > 1/3.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице. Тот же трёхчлен уже разложен в ①.

3 6 x^{2} + x - 1 \neq 1

6 x^{2} + x - 2 \neq 0

6 (x + \frac{2}{3}) (x - 0,5) \neq 0

x \neq - \frac{2}{3}, x \neq 0,5

В точках −2/3 и 0,5 основание обращается в единицу, и логарифм не определён. Решение ③: вся ось, кроме x = −2/3 и x = 0,5.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен. Дискриминант не полный квадрат, поэтому корни иррациональные.

4 3 x^{2} - 7 x + 3 > 0

D = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 - 36 = 13

x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}

Оба корня выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх — трёхчлен положителен вне корней. Меньший корень правее 0,5: (7 − √13)/6 > 0,5 ⟺ 7 − √13 > 3 ⟺ 4 > √13 ⟺ 16 > 13 — верно. Решение ④: x < (7 − √13)/6 или x > (7 + √13)/6.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Условие ② выкалывает точку x = 1/3, условие ③ — точки x = −2/3 и x = 0,5. Условие ④ ничего не обрезает: оба его корня лежат правее 0,5.

Точка x = 2 закрашена: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≥ выполняется. Три левые точки выколоты ограничениями ② и ③. Проверка: x = 0,4 ⇒ основание 6 · 0,16 + 0,4 − 1 = 0,36 < 1, аргумент 3 · 0,16 − 2,8 + 3 = 0,68 < 1, логарифм положителен ✓.

ответ

x \in (- \infty; - \frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{3}; 0,5) \cup [2; + \infty)

$\log_{6 x^{2} - x - 1} (2 x^{2} - 5 x + 3) \geq 0$