Задача 10151410 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Восьмёрку справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ② и ③.

\log_{4 - x} \frac{{(x - 4)}^{8}}{x + 5} \geq \log_{4 - x} {(4 - x)}^{8} ⟺

{\begin{matrix} (4 - x - 1) (\frac{{(x - 4)}^{8}}{x + 5} - {(4 - x)}^{8}) \geq 0 & 1 \\ 4 - x > 0, 4 - x \neq 1 & 2 \\ \frac{{(x - 4)}^{8}}{x + 5} > 0 & 3 \end{matrix}

Восьмёрка — это логарифм восьмой степени основания: 8 = logₐ a⁸. Ограничения ② и ③ — это ОДЗ: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Показатель степени чётный, поэтому (4 − x)⁸ и (x − 4)⁸ — одно и то же. Выносим общий множитель (x − 4)⁸ за скобку и приводим оставшуюся разность к общему знаменателю. Корни числителя −4 и 3 закрашены (нестрогое ≥); x = 4 — корень чётной кратности 8, петелька: знак через эту точку не меняется. Точка разрыва x = −5 выколота.

1 (4 - x - 1) (\frac{{(x - 4)}^{8}}{x + 5} - {(4 - x)}^{8}) \geq 0

4 - x - 1 = 3 - x

{(4 - x)}^{8} = {(x - 4)}^{8}

\frac{{(x - 4)}^{8}}{x + 5} - {(x - 4)}^{8} = {(x - 4)}^{8} (\frac{1}{x + 5} - 1) =

= {(x - 4)}^{8} \cdot \frac{1 - (x + 5)}{x + 5} = {(x - 4)}^{8} \cdot \frac{- (x + 4)}{x + 5}

(3 - x) {(x - 4)}^{8} \cdot \frac{- (x + 4)}{x + 5} \geq 0

\frac{(x - 3) (x + 4) {(x - 4)}^{8}}{x + 5} \geq 0

Два минуса — у (3 − x) и у −(x + 4) — дают плюс: (3 − x) · (−(x + 4)) = (x − 3)(x + 4). Пробная точка x = 0: (0 − 3)(0 + 4)(0 − 4)⁸ / (0 + 5). Первые два множителя дают −12, чётная степень (−4)⁸ и знаменатель 5 положительны, значит вся дробь отрицательна — знак «−» на интервале (−4; 3), дальше через простые корни знаки чередуются. Решение ①: (−5; −4] ∪ [3; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице.

2 4 - x > 0, 4 - x \neq 1

x < 4, x \neq 3

Точка x = 3 выколота условием «основание ≠ 1». Знак выражения 4 − x через неё не меняется — слева и справа от неё стоит один и тот же плюс. Решение ②: (−∞; 3) ∪ (3; 4).

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент логарифма положителен. Числитель — чётная степень, поэтому знак дроби задаёт знаменатель.

3 \frac{{(x - 4)}^{8}}{x + 5} > 0

{(x - 4)}^{8} > 0 ⟺ x \neq 4

x + 5 > 0 ⟺ x > - 5

Чётная степень (x − 4)⁸ неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x − 4 = 0, поэтому (x − 4)⁸ > 0 равносильно x ≠ 4. Тогда дробь положительна ровно когда положителен знаменатель. Решение ③: (−5; 4) ∪ (4; +∞).

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② обрезает правый луч решения ① до 4 и выкалывает точку 3, ограничение ③ отсекает всё левее −5.

Точка −4 закрашена: там обе части исходного неравенства равны, log₈ 8⁸ = 8. Точки 3 и 4 выколоты по ОДЗ, точка −5 — по ограничению ③.

условие

шаг 1.Метод рационализации

шаг 2.Неравенство ①

шаг 3.Ограничение ②

шаг 4.Ограничение ③

шаг 5.Пересечение

ответ