условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все три логарифма по основанию 3 требуют положительного аргумента: 2x² − x, 6x − 3 и сам x. Решаем каждое условие на своей оси и берём пересечение.
Пробная точка x = 1 в I условии: 1·(2·1 − 1) = 1 > 0 — знак «+» на правом интервале, чередование «+, −, +». Пересечение трёх условий даёт x > 0,5.
шаг 2.Упрощаем обе части
Показатель степени у десятки равен sin²x + cos²x = 1, поэтому знаменатель левой части — это просто число 2021. Правую часть переписываем без отрицательного показателя степени.
Основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1. Свойства степеней: 1 : aᴹ = a⁻ᴹ и aᴹ : a = aᴹ⁻¹.
шаг 3.Снимаем основание степени
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: (знак переворачивается).
шаг 4.Раскладываем логарифмы
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
На ОДЗ x > 0,5 оба множителя x и 2x − 1 положительны, поэтому разложение логарифма произведения законно. log₃3 = 1 — отсюда единица во второй строке.
шаг 5.Замена t = log₃x
Неравенство стало квадратным относительно логарифма — вводим новую переменную.
По теореме Виета для t² + t − 2 = 0: сумма корней должна равняться −1, произведение −2. Подбираем t₁ = −2 и t₂ = 1, отсюда t² + t − 2 = (t + 2)(t − 1). Пробная точка t = 0: (0 + 2)(0 − 1) = −2 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Корни закрашены (нестрогое ≤).
шаг 6.Обратная замена и пересечение с ОДЗ
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Границы −2 и 1 записываем как log₃3⁻² и log₃3 — так все три части становятся логарифмами по одному основанию. Левый конец 1/9 меньше 0,5 и отсекается ОДЗ; точка x = 0,5 выколота по ОДЗ.