Задача 10151407 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{x^{2}} {(x - 1)}^{2} \leq 1

шаг 1.Метод рационализации

Единицу справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ② и ③.

\log_{x^{2}} {(x - 1)}^{2} \leq \log_{x^{2}} x^{2} ⟺

{\begin{matrix} (x^{2} - 1) ((x - 1)^{2} - x^{2}) \leq 0 & 1 \\ x^{2} > 0, x^{2} \neq 1 & 2 \\ (x - 1)^{2} > 0 & 3 \end{matrix}

Единица — это логарифм основания по самому себе: 1 = logₐ a. Ограничения ② и ③ — это ОДЗ: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Раскрываем разность аргументов и раскладываем первый множитель по формуле разности квадратов a² − b² = (a − b)(a + b). Затем домножаем на −1, чтобы старший коэффициент стал положительным. Корни −1, 0,5 и 1 закрашены (неравенство нестрогое).

1 (x^{2} - 1) ((x - 1)^{2} - x^{2}) \leq 0

{(x - 1)}^{2} - x^{2} = x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = 1 - 2 x

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

(x - 1) (x + 1) (1 - 2 x) \leq 0

(x - 1) (x + 1) (2 x - 1) \geq 0

Умножение на −1 переворачивает знак неравенства: 1 − 2x меняется на 2x − 1, а «≤» — на «≥». Корень множителя 2x − 1 находим из 2x − 1 = 0, то есть x = 0,5. Пробная точка x = 0: (0 − 1)(0 + 1)(2 · 0 − 1) = 1 > 0 — знак «+» на интервале (−1; 0,5), через простые корни знаки чередуются. Решение ①: [−1; 0,5] ∪ [1; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице.

2 x^{2} > 0, x^{2} \neq 1

x \neq 0, x \neq - 1, x \neq 1

Квадрат x² неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x = 0, поэтому x² > 0 равносильно x ≠ 0. Равенство x² = 1 даёт x = −1 и x = 1 — там основание равно единице, эти точки тоже выколоты. Решение ②: вся ось без точек −1, 0 и 1.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент логарифма положителен.

3 {(x - 1)}^{2} > 0

x \neq 1

Квадрат (x − 1)² неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x − 1 = 0, поэтому (x − 1)² > 0 равносильно x ≠ 1. Решение ③: вся ось без точки 1.

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничения ② и ③ ничего не обрезают по длине, но выкалывают три точки: −1, 0 и 1.

Точки −1, 0 и 1 выколоты по ОДЗ (ограничения ② и ③), точка 0,5 остаётся закрашенной: там основание и аргумент совпадают (оба равны 0,25), логарифм равен единице.

ответ

x \in (- 1; 0) \cup (0; 0,5] \cup (1; + \infty)

$\log_{x^{2}} {(x + 1)}^{2} \leq 1$