Задача 10151411 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{5 - x} (x + 3) \leq 0 ⟺

{\begin{matrix} ((5 - x) - 1) ((x + 3) - 1) \leq 0 & 1 \\ 5 - x > 0 & 2 \\ 5 - x \neq 1 & 3 \\ x + 3 > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = 5 − x, аргумент g = x + 3. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

В обеих скобках приводим подобные — получается произведение двух линейных множителей. Дальше метод интервалов.

1 ((5 - x) - 1) ((x + 3) - 1) \leq 0

(4 - x) (x + 2) \leq 0

Корни левой части −2 и 4 закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 0 на интервале (−2; 4): (4 − 0)(0 + 2) = 4 · 2 = 8 > 0 — знак «+»; оба корня нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: (−∞; −2] ∪ [4; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 5 - x > 0

x < 5

Решение ②: x < 5.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 5 - x \neq 1

x \neq 4

При x = 4 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = 4.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен.

4 x + 3 > 0

x > - 3

Решение ④: x > −3.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Условие ④ обрезает левый луч слева, условие ③ выкалывает точку x = 4, условие ② — точку x = 5.

Точка x = −2 закрашена: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≤ выполняется. Проверка: x = −2,5 ⇒ основание 7,5 > 1, аргумент 0,5 < 1, логарифм отрицателен ✓.

условие