Задача 10151451 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Упрощаем внутренний логарифм

Аргумент x⁴ — это квадрат основания x², поэтому самый внутренний логарифм равен двум при любом допустимом x.

x^{4} = {(x^{2})}^{2}

\log_{x^{2}} x^{4} = \log_{x^{2}} {(x^{2})}^{2} = 2

\log_{3} \log_{x^{2}} 2 > 0

Логарифм не зависит от знака x: и при x > 0, и при x < 0 выполняется x² > 0 и x⁴ = (x²)².

шаг 2.Снимаем внешний логарифм

Ноль справа записываем как log₃ 1. Функция log₃ возрастает (основание логарифма 3 > 1), поэтому неравенство между логарифмами равносильно такому же неравенству между аргументами.

\log_{3} \log_{x^{2}} 2 > \log_{3} 1

\log_{x^{2}} 2 > 1

Условие log_{x²} 2 > 1 автоматически влечёт положительность аргумента внешнего логарифма — отдельного ограничения оно не требует.

шаг 3.Метод рационализации

Основание x² зависит от x, поэтому единицу справа записываем как log_{x²} x² и применяем метод рационализации: logₐ f − logₐ g имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничение ②.

{\begin{matrix} (x^{2} - 1) (2 - x^{2}) > 0 & 1 \\ x^{2} > 0, x^{2} \neq 1 & 2 \end{matrix}

Условие ② — основание логарифмов положительно и не равно единице.

шаг 4.Неравенство ①

Раскладываем обе разности квадратов и наносим четыре корня на ось.

1 (x - 1) (x + 1) (\sqrt{2} - x) (\sqrt{2} + x) > 0

Все четыре корня выколоты (строгое >). Пробная точка x = 0 на интервале (−1; 1): (0 − 1)(0 + 1)(√2 − 0)(√2 + 0) = (−1) · 2 = −2 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение ①: (−√2; −1) ∪ (1; √2).

шаг 5.Ограничение ② и пересечение

Основание x² положительно при всех x, кроме нуля, и обращается в единицу при x = ±1. Все три выколотые точки лежат вне решения ①, поэтому итог совпадает с решением ①.

2 x \neq 0, x \neq \pm 1

Проверка: x = 1,2 ⇒ основание 1,44, log₁,₄₄ 2 ≈ 1,90 > 1, значит log₃ 1,90 ≈ 0,58 > 0 ✓. Проверка: x = 1,5 ⇒ основание 2,25, log₂,₂₅ 2 ≈ 0,85 < 1, значит внешний логарифм отрицателен — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

условие

шаг 1.Упрощаем внутренний логарифм

шаг 2.Снимаем внешний логарифм

шаг 3.Метод рационализации

шаг 4.Неравенство ①

шаг 5.Ограничение ② и пересечение

ответ