Задача 10151515 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Основание логарифма положительно всегда, но не должно равняться единице. Аргумент сворачиваем в полный квадрат — сразу видно, где он положителен.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2^{| 2 x - 1 |} \neq 1 \\ 2^{2 x + 1} - 2^{x + 2} + 2 > 0 \end{matrix}

2^{2 x + 1} - 2^{x + 2} + 2 = 2 \cdot 2^{2 x} - 4 \cdot 2^{x} + 2 =

= 2 ({(2^{x})}^{2} - 2 \cdot 2^{x} + 1) = 2 {(2^{x} - 1)}^{2}

{\begin{matrix} | 2 x - 1 | \neq 0 \\ 2 {(2^{x} - 1)}^{2} > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0,5 \\ x \neq 0 \end{matrix}

Единица — это 2⁰, а равные степени с основанием степени 2 дают равные показатели степени: 2^|2x−1| = 1 ⟺ |2x − 1| = 0 ⟺ x = 0,5. Квадрат разности неотрицателен при любом x и обращается в нуль лишь при 2ˣ = 1, то есть при x = 0. Поэтому 2(2ˣ − 1)² > 0 равносильно x ≠ 0.

шаг 2.Потенцируем

Правую часть записываем логарифмом с тем же основанием — тогда обе части станут логарифмами. Основание 2^|2x−1| больше единицы, потому что показатель степени |2x − 1| строго положителен по ОДЗ, а логарифм с основанием больше единицы возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.

| 2 x - 1 | > 0

2^{| 2 x - 1 |} > 2^{0}

2^{| 2 x - 1 |} > 1

\log_{2^{| 2 x - 1 |}} 2^{x} = \frac{\log_{2} 2^{x}}{\log_{2} 2^{| 2 x - 1 |}} = \frac{x}{| 2 x - 1 |}

\log_{2^{| 2 x - 1 |}} (2 {(2^{x} - 1)}^{2}) \leq \log_{2^{| 2 x - 1 |}} 2^{x}

2 {(2^{x} - 1)}^{2} \leq 2^{x}

Потенцирование — операция, обратная логарифмированию: с обеих частей снимаются логарифмы с одинаковым основанием. Формула перехода к новому основанию логарифма: log_c b = logₐb : logₐc. Здесь log₂2ˣ = x и log₂2^|2x−1| = |2x − 1|. Положительность аргумента уже записана в ОДЗ, лишних решений не появится.

шаг 3.Замена t = 2ˣ

Вводим показательную функцию как новую переменную: t > 0, так как степень с положительным основанием степени всегда положительна.

t = 2^{x}, t > 0

2 {(t - 1)}^{2} \leq t

2 t^{2} - 4 t + 2 \leq t

2 t^{2} - 5 t + 2 \leq 0

2 t^{2} - 5 t + 2 = 0

D = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \begin{matrix} = 2 \\ = 0,5 \end{matrix}

2 (t - 2) (t - 0,5) \leq 0

Пробная точка t = 0: 2(0 − 2)(0 − 0,5) = 2 > 0 — знак «+» на левом интервале, дальше знаки чередуются «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤). Выноска от нуля — условие замены t = 2ˣ > 0. Оба корня положительны, поэтому оно ничего не отсекает.

шаг 4.Обратная замена

Подставляем обратно t = 2ˣ. Функция 2ˣ возрастает (основание степени 2 > 1), поэтому знак неравенства сохраняется.

0,5 \leq t \leq 2

0,5 \leq 2^{x} \leq 2

2^{- 1} \leq 2^{x} \leq 2^{1}

- 1 \leq x \leq 1

0,5 = 2⁻¹, 2 = 2¹ — обе границы записаны степенями с основанием степени 2, поэтому основание снимается сразу.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Из отрезка [−1; 1] выбрасываем две точки ОДЗ: при x = 0 аргумент логарифма обращается в нуль, при x = 0,5 основание логарифма равно единице.

Обе выколотые точки лежат внутри отрезка [−1; 1], поэтому он распадается на три промежутка.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Потенцируем

шаг 3.Замена t = 2ˣ

шаг 4.Обратная замена

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

ответ