Задача 10151418 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Минус два справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ② и ③.

\log_{3 - x} \frac{x + 4}{{(x - 3)}^{2}} \geq \log_{3 - x} {(3 - x)}^{- 2} ⟺

{\begin{matrix} (3 - x - 1) (\frac{x + 4}{{(x - 3)}^{2}} - {(3 - x)}^{- 2}) \geq 0 & 1 \\ 3 - x > 0, 3 - x \neq 1 & 2 \\ \frac{x + 4}{{(x - 3)}^{2}} > 0 & 3 \end{matrix}

Минус два — это логарифм основания в степени −2: −2 = logₐ a⁻², а a⁻² = 1/a². Ограничения ② и ③ — это ОДЗ: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Отрицательная степень переворачивается в дробь, а показатель чётный, поэтому (3 − x)² = (x − 3)² — у обеих дробей в скобке общий знаменатель. Корни числителя −3 и 2 закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва 3 — чётной кратности 2: петелька, знак через неё не меняется, сама точка выколота по ОДЗ.

1 (3 - x - 1) (\frac{x + 4}{{(x - 3)}^{2}} - {(3 - x)}^{- 2}) \geq 0

3 - x - 1 = 2 - x

{(3 - x)}^{- 2} = \frac{1}{{(3 - x)}^{2}} = \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}

\frac{x + 4}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{x + 3}{{(x - 3)}^{2}}

(2 - x) \cdot \frac{x + 3}{{(x - 3)}^{2}} \geq 0

\frac{(2 - x) (x + 3)}{{(x - 3)}^{2}} \geq 0

Чётная степень: (3 − x)² = (x − 3)², поэтому в скобке остаётся (x + 4 − 1)/(x − 3)² = (x + 3)/(x − 3)². Пробная точка x = 0: (2 − 0)(0 + 3)/(0 − 3)² = 6/9 > 0 — знак «+» на интервале (−3; 2), через простые корни знаки чередуются. Минус в (2 − x) трогать не нужно: знаки расставляются прямо в этой форме. Решение ①: [−3; 2].

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице.

2 3 - x > 0, 3 - x \neq 1

x < 3, x \neq 2

Точка x = 2 выколота условием «основание ≠ 1». Знак выражения 3 − x через неё не меняется — слева и справа от неё стоит один и тот же плюс. Решение ②: (−∞; 2) ∪ (2; 3).

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент логарифма положителен. Знаменатель (x − 3)² положителен всюду, кроме x = 3, поэтому знак дроби задаёт числитель.

3 \frac{x + 4}{{(x - 3)}^{2}} > 0

x + 4 > 0, x \neq 3

Чётная степень (x − 3)² неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x = 3, поэтому дробь положительна ровно там, где положителен числитель, кроме самой точки 3. Решение ③: (−4; 3) ∪ (3; +∞).

шаг 5.Пересечение

Сводим три оси в одну. Ограничение ② выкалывает точку 2, ограничение ③ поднимает левую границу до −4.

Точка −3 закрашена: там обе части исходного неравенства равны, log₆(1/36) = −2. Точка 2 выколота по ограничению ②, точки −4 и 3 в ответ не входят.