условие
шаг 1.Метод рационализации
В числителе логарифм, в знаменателе — разность степеней и разность модулей. Применяем метод рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
Множитель задаёт направление: при он положителен (знак как у ), при — отрицателен, знак переворачивается.
: каждую такую разность заменяем произведением того же знака. Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе.Нуль логарифма записываем как log₀,₂1, чтобы получить разность логарифмов с одинаковым основанием. Ограничение ② — это ОДЗ логарифма: аргумент строго положителен. Точки x = 1,5, x = 5 и x = −5 отдельными строками в системе не нужны — они уже видны как нули знаменателя неравенства ①.
шаг 2.Неравенство ①
Вычисляем множители рационализации: (0,2 − 1) = −0,8 и (2 − 1) = 1. Отрицательную константу не убираем — стартовый знак на оси даст пробная точка.
Корень числителя: 3 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва знаменателя: −5, 1,5 и 5 — выколоты.
Пробная точка x = 0: числитель −0,8(0 − 3) = 2,4, знаменатель (0 − 3)(0 − 5)(0 + 5) = 75, дробь 2,4 : 75 > 0 — знак «+» на интервале (−5; 1,5), дальше знаки чередуются.
Решение ①: x ∈ (−5; 1,5) ∪ [3; 5).Когда работает метод интервалов?
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
➀ Полиномы и дроби — корни находятся алгебраически, между ними знак постоянен.
Пример:
Пример:
➁ Разности степеней одного основания
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
Знак совпадает со знаком — заменяем на полином.
Пример: →
➂ Разность одинаковых степеней
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
делим на → : ровно один корень, знак меняется один раз — как у линейного множителя.
Пример: только при .
· В ② и ③ только разность! Сумма всегда , корня нет → не учитываем.
· Произведение множителей из ①, ② и ③ — тоже работает.
Смешанные — не работает
Если внутри одного множителя и показательная, и алгебраическая часть — корни трансцендентные, знак непредсказуем.
Пример:
Тогда разбираем по случаям, например: оба ≥ 0 или оба ≤ 0 или A = 0 или B = 0.
шаг 3.Ограничение ② и пересечение
Условие ② даёт луч x > 2. Пересекаем его с решением неравенства ①.
Интервал (−5; 1,5) целиком лежит левее двойки — там логарифм не определён, и в ответ он не попадает. Отрезок [3; 5) правее двойки и остаётся без изменений.