Задача 10151436 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Двойку справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ②, ③ и ④.

\log_{x + 2} (x^{2} - 2) \geq \log_{x + 2} {(x + 2)}^{2} ⟺

{\begin{matrix} ((x + 2) - 1) ((x^{2} - 2) - (x + 2)^{2}) \geq 0 & 1 \\ x + 2 > 0 & 2 \\ x + 2 \neq 1 & 3 \\ x^{2} - 2 > 0 & 4 \end{matrix}

Двойка — это логарифм основания в квадрате: 2 = log_a a². Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

В первой скобке приводим подобные, во второй раскрываем квадрат суммы — квадраты взаимно уничтожаются, остаётся линейное выражение.

1 ((x + 2) - 1) ((x^{2} - 2) - (x + 2)^{2}) \geq 0

(x + 1) (x^{2} - 2 - x^{2} - 4 x - 4) \geq 0

(x + 1) (- 4 x - 6) \geq 0

Корни левой части закрашены (нестрогое ≥): x + 1 = 0 при x = −1, а −4x − 6 = 0 при x = −1,5. Минус в (−4x − 6) трогать не нужно: знаки расставляются прямо в этой форме. Пробная точка x = 0 на интервале (−1; +∞): (0 + 1)(−4 · 0 − 6) = −6 < 0 — знак «−»; оба корня нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: [−1,5; −1].

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 x + 2 > 0

x > - 2

Решение ②: x > −2.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 x + 2 \neq 1

x \neq - 1

При x = −1 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = −1.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен. Раскладываем по формуле разности квадратов.

4 x^{2} - 2 > 0

(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) > 0

Корни −√2 и √2 выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх — трёхчлен положителен вне корней. Решение ④: x < −√2 или x > √2. Численно √2 ≈ 1,41.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Ограничение ③ выкалывает правый конец x = −1, а ограничение ④ обрезает отрезок раньше — по точке −√2 ≈ −1,41.

Точка −1,5 закрашена: там обе части исходного неравенства равны, log₀,₅ 0,25 = 2. Точка −√2 выколота: в ней аргумент x² − 2 обращается в ноль и логарифм не определён. Проверка: x = −1,45 ⇒ основание 0,55 < 1, аргумент 0,1025 < 1, логарифм ≈ 3,8 ≥ 2 ✓.

условие