шаг 1.Область допустимых значений

Оба основания положительны и не равны единице, аргументы положительны. Самое сильное ограничение даёт аргумент 2x − x².

Условие √x > 0 и √x ≠ 1 — это то же самое, что x > 0 и x ≠ 1. Условие (x − 2)² > 0 даёт x ≠ 2, но точка 2 и так не входит в интервал (0; 2).

шаг 2.Приводим логарифмы к основанию x

Логарифм по основанию √x вдвое больше логарифма по основанию x, а чётная степень в аргументе выносится с модулем. На ОДЗ выполнено |x − 2| = 2 − x.

log_x √x = 1/2, поэтому деление на него — это умножение на 2. Степень выносим с модулем: log_a b² = 2 log_a |b|.

шаг 3.Замена переменной

Обозначим u = log_x(2 − x). Неравенство становится квадратным относительно u.

Оба корня закрашены (нестрогое ≥). Пробная точка u = 1 на интервале (0; 2): 1 · (1 − 2) = −1 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Решение: u ≤ 0 или u ≥ 2.

шаг 4.Знак логарифма u

На всей ОДЗ логарифм u строго отрицателен, поэтому условие u ≤ 0 выполняется всегда, а условие u ≥ 2 — никогда. Значит решением служит вся ОДЗ. Проверка: x = 0,5 ⇒ слева log₀,₇₀₇ 2,25 + 1 ≈ −1,34, справа (log₀,₅ 0,75)² ≈ 0,17 — неравенство верно ✓. Проверка: x = 1,5 ⇒ слева ≈ −5,84, справа ≈ 0,50 ✓.