условие
шаг 1.Область допустимых значений
Под логарифмами стоит cos x — аргумент логарифма должен быть положителен.
Косинус ограничен сверху единицей, поэтому на ОДЗ 0 < cos x ≤ 1. Это понадобится при замене.
шаг 2.Приводим логарифмы к основанию 2
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Формула перехода к новому основанию: logₐ b = log_c b : log_c a. Здесь log₂4 = 2.
шаг 3.Замена t = log₂(cos x)
Логарифм по основанию 2 > 1 возрастает, поэтому из 0 < cos x ≤ 1 следует t ≤ log₂1 = 0. Подставляем и получаем квадратное неравенство.
шаг 4.Метод интервалов в t
Раскладываем трёхчлен через дискриминант. Выноска слева — условие замены t ≤ 0; точка t = 0 в него входит, поэтому закрашена.
Пробная точка t = 0: 5·0² + 4·0 − 1 = −1 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Корни закрашены (нестрогое ≤). Пересекаем отрезок [−1; 0,2] с условием t ≤ 0 и получаем −1 ≤ t ≤ 0.
шаг 5.Обратная замена
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Границы −1 и 0 записываем как log₂(1/2) и log₂1 — так все три части становятся логарифмами по одному основанию. Верхняя граница cos x ≤ 1 выполнена при любом x, поэтому остаётся одно условие.
шаг 6.Записываем серии решений
Косинус принимает значение 1/2 в точках ±π/3, а на дуге между ними (вокруг нуля) он больше 1/2. Дальше картина повторяется с периодом 2π.
Внутри отрезка [−π/3 + 2πn; π/3 + 2πn] косинус не меньше 1/2, вне его — меньше. Концы закрашены: там cos x = 1/2, что удовлетворяет нестрогому неравенству. Условие ОДЗ cos x > 0 выполнено автоматически: из cos x ≥ 1/2 следует cos x > 0.