Задача 10151428 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Метод рационализации

Логарифм с переменным основанием сравнивается с нулём. Применяем метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

\log_{x - 2} (\frac{x + 1}{6}) \leq 0 ⟺

{\begin{matrix} ((x - 2) - 1) (\frac{x + 1}{6} - 1) \leq 0 & 1 \\ x - 2 > 0 & 2 \\ x - 2 \neq 1 & 3 \\ \frac{x + 1}{6} > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = x − 2, аргумент g — дробь с числителем x + 1 и знаменателем 6. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

В первой скобке приводим подобные, вторую сводим к одной дроби. Затем домножаем обе части на 6 — знак сохраняется, знаменатель сокращается.

1 ((x - 2) - 1) (\frac{x + 1}{6} - 1) \leq 0

(x - 3) \cdot \frac{x + 1 - 6}{6} \leq 0

\frac{(x - 3) (x - 5)}{6} \leq 0 | \cdot 6

(x - 3) (x - 5) \leq 0

Корни левой части 3 и 5 закрашены (нестрогое ≤). Пробная точка x = 4 на интервале (3; 5): (4 − 3)(4 − 5) = 1 · (−1) = −1 < 0 — знак «−»; оба корня нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: 3 ≤ x ≤ 5.

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно.

2 x - 2 > 0

x > 2

Решение ②: x > 2.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице.

3 x - 2 \neq 1

x \neq 3

При x = 3 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = 3.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен.

4 \frac{x + 1}{6} > 0 | \cdot 6

x + 1 > 0

x > - 1

Решение ④: x > −1.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Условие ③ выкалывает левую границу x = 3. Условия ② и ④ отсекают то, что левее 2, — в решении ① этого и так не было.

Точка x = 5 закрашена: там аргумент равен 1, логарифм равен нулю и нестрогое ≤ выполняется. Проверка: x = 4 ⇒ основание 2 > 1, аргумент меньше единицы (числитель 5 меньше знаменателя 6), логарифм отрицателен ✓.

условие