Задача 10151545 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{5} (1 - x^{2} - 4 x) \geq 2 \cos (\frac{π}{3} \sin \frac{π x}{4})

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент логарифма положителен. Выделяем в нём полный квадрат — тогда сразу видно, где он положителен.

ОДЗ

1 - x^{2} - 4 x > 0

5 - {(x + 2)}^{2} > 0

{(x + 2)}^{2} < 5

| x + 2 | < \sqrt{5}

- 2 - \sqrt{5} < x < - 2 + \sqrt{5}

Полный квадрат: 1 − x² − 4x = 1 − ((x + 2)² − 4) = 5 − (x + 2)². Снятие модуля: |x + 2| < √5 ⟺ −√5 < x + 2 < √5.

шаг 2.Оцениваем левую часть

Аргумент логарифма равен 5 − (x + 2)², а квадрат неотрицателен — больше 5 аргумент не бывает. Логарифм по основанию 5 > 1 возрастает, поэтому и вся левая часть не больше единицы.

1 - x^{2} - 4 x = 5 - {(x + 2)}^{2} \leq 5

\log_{5} (1 - x^{2} - 4 x) \leq \log_{5} 5

\log_{5} (1 - x^{2} - 4 x) \leq 1

Равенство достигается только при (x + 2)² = 0, то есть при x = −2.

шаг 3.Оцениваем правую часть

Синус не выходит за отрезок от −1 до 1, поэтому аргумент косинуса лежит между −π/3 и π/3. На этом отрезке косинус не меньше 1/2, значит удвоенный косинус не меньше единицы.

- 1 \leq \sin \frac{π x}{4} \leq 1

- \frac{π}{3} \leq \frac{π}{3} \sin \frac{π x}{4} \leq \frac{π}{3}

\cos (\frac{π}{3} \sin \frac{π x}{4}) \geq \cos \frac{π}{3}

\cos (\frac{π}{3} \sin \frac{π x}{4}) \geq \frac{1}{2}

2 \cos (\frac{π}{3} \sin \frac{π x}{4}) \geq 1

Косинус чётный, а на отрезке от 0 до π/3 убывает — поэтому наименьшее значение на отрезке от −π/3 до π/3 достигается на его концах и равно cos(π/3) = 1/2. Равенство достигается только при sin(πx/4) = ±1.

шаг 4.Соединяем оценки

Левая часть не больше единицы, правая — не меньше единицы. Нестрогое «≥» между ними возможно только как равенство, а для этого обе части обязаны равняться единице.

\log_{5} (1 - x^{2} - 4 x) \leq 1 \leq 2 \cos (\frac{π}{3} \sin \frac{π x}{4})

{\begin{matrix} \log_{5} (5 - (x + 2)^{2}) = \log_{5} 5 \\ 2 \cos (\frac{π}{3} \sin \frac{π x}{4}) = 1 \end{matrix} ⟺

{\begin{matrix} {(x + 2)}^{2} = 0 \\ \sin \frac{π x}{4} = \pm 1 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 + 4 k, k \in ℤ \end{matrix}

Вторая строка системы: sin(πx/4) = ±1 ⟺ πx/4 = π/2 + πk ⟺ x = 2 + 4k. При k = −1 получается ровно x = −2, поэтому обе строки выполняются одновременно. Проверка: при x = −2 аргумент логарифма равен 1 + 8 − 4 = 5, слева log₅5 = 1; sin(−π/2) = −1, справа 2cos(−π/3) = 1 — нестрогое ≥ выполнено как равенство. Точка x = −2 лежит внутри ОДЗ: −2 − √5 < −2 < −2 + √5.

ответ

x = - 2