Задача 10151532 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\frac{1}{7}} \log_{3} \frac{| - x + 1 | + | x + 1 |}{2 x + 1} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Дробь под логарифмами громоздкая — обозначим её буквой A. Логарифм двухслойный: аргумент внутреннего логарифма положителен, а сам внутренний логарифм — аргумент внешнего — строго положителен. Плюс знаменатель дроби не равен нулю.

ОДЗ

A = \frac{| - x + 1 | + | x + 1 |}{2 x + 1}

| - x + 1 | = 0 ⟺ x = 1, | x + 1 | = 0 ⟺ x = - 1

| - x + 1 | + | x + 1 | > 0 при всех x

{\begin{matrix} 2 x + 1 \neq 0 \\ A > 0 \\ \log_{3} A > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 2 x + 1 > 0 \\ A > 1 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > - \frac{1}{2} \\ A > 1 \end{matrix}

Сумма двух модулей равна нулю, только если оба модуля равны нулю. Здесь это невозможно: первый обращается в ноль при x = 1, второй — при x = −1. Значит числитель строго положителен, и знак дроби A совпадает со знаком знаменателя: A > 0 равносильно 2x + 1 > 0. Основание внутреннего логарифма 3 > 1, логарифм возрастает, поэтому log₃A > 0 равносильно A > 1 — это условие сильнее, чем A > 0.

шаг 2.Снимаем внешний логарифм

Записываем ноль как логарифм с основанием 1/7. Это основание меньше единицы — логарифм убывает, поэтому знак неравенства переворачивается. Затем так же снимаем внутренний логарифм: его основание 3 > 1, знак сохраняется.

\log_{\frac{1}{7}} \log_{3} A \geq 0

\log_{\frac{1}{7}} \log_{3} A \geq \log_{\frac{1}{7}} 1

\log_{3} A \leq 1

\log_{3} A \leq \log_{3} 3

A \leq 3

{\begin{matrix} x > - \frac{1}{2} \\ 1 < A \leq 3 \end{matrix}

Ограничение A > 1 пришло из ОДЗ, ограничение A ≤ 3 — из самого неравенства. Вместе они дают двойное неравенство 1 < A ≤ 3.

шаг 3.Раскрываем модули

Нули подмодульных выражений — точки x = 1 и x = −1. Вторая лежит левее ОДЗ, поэтому на всём ОДЗ x + 1 > 0 и модуль |x + 1| раскрывается сразу. Остаётся разобрать два случая по знаку выражения 1 − x.

x > - \frac{1}{2} ⟹ x + 1 > 0 ⟹ | x + 1 | = x + 1

| - x + 1 | = {\begin{matrix} 1 - x, & x \leq 1 \\ x - 1, & x > 1 \end{matrix}

- \frac{1}{2} < x \leq 1 : A = \frac{(1 - x) + (x + 1)}{2 x + 1} = \frac{2}{2 x + 1}

x > 1 : A = \frac{(x - 1) + (x + 1)}{2 x + 1} = \frac{2 x}{2 x + 1}

В первом случае переменные в числителе взаимно уничтожаются: (1 − x) + (x + 1) = 2. Во втором случае они складываются: (x − 1) + (x + 1) = 2x.

шаг 4.Случай 1: −1/2 < x ≤ 1

Подставляем A = 2/(2x + 1) в двойное неравенство и разбираем его по частям. Знаменатель 2x + 1 положителен по ОДЗ, поэтому на него можно умножать без смены знака.

1 < \frac{2}{2 x + 1} \leq 3

\frac{2}{2 x + 1} > 1 ⟺ 2 > 2 x + 1 ⟺ x < \frac{1}{2}

\frac{2}{2 x + 1} \leq 3 ⟺ 2 \leq 6 x + 3 ⟺ x \geq - \frac{1}{6}

- \frac{1}{6} \leq x < \frac{1}{2}

Левая часть: 2/(2x + 1) > 1 после умножения на 2x + 1 > 0 даёт 2 > 2x + 1, то есть 2x < 1 и x < 1/2. Правая часть: 2/(2x + 1) ≤ 3 даёт 2 ≤ 3(2x + 1) = 6x + 3, то есть 6x ≥ −1 и x ≥ −1/6. Полученный промежуток [−1/6; 1/2) целиком лежит внутри условия случая −1/2 < x ≤ 1, поэтому пересечение ничего не отсекает.

шаг 5.Случай 2: x > 1

Подставляем A = 2x/(2x + 1) и проверяем левую часть двойного неравенства — условие A > 1 из ОДЗ.

\frac{2 x}{2 x + 1} > 1

2 x > 2 x + 1

0 > 1 — неверно

Умножение на 2x + 1 > 0 знак не меняет. После сокращения 2x с обеих сторон остаётся неверное числовое неравенство 0 > 1 — значит при x > 1 условие A > 1 не выполняется ни при каком x, и случай 2 решений не даёт.

шаг 6.Объединение случаев

Случай 2 решений не дал, поэтому ответ — только результат случая 1.

Левая граница закрашена: при x = −1/6 знаменатель равен 2/3, дробь A равна 3, внутренний логарифм равен 1, а внешний — нулю, что удовлетворяет нестрогому ≥. Правая граница выколота: при x = 1/2 дробь A равна 1, внутренний логарифм обращается в ноль, и внешний логарифм не определён.

ответ

x \in [- \frac{1}{6}; \frac{1}{2})