Задача 10151444 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Чётность выражения

В неравенстве x встречается только как |x| и x² (заметим, что 6x² = 6|x|²) — обе функции чётные. Значит, и основание, и аргумент логарифма зависят только от |x|, то есть всё выражение чётное: его график симметричен относительно оси y.

Поэтому достаточно решить неравенство при x > 0, а ответ для x < 0 получить зеркальным отражением относительно нуля.

шаг 2.Метод рационализации

При x > 0 имеем |x| = x. Минус единицу справа записываем логарифмом с тем же основанием — обе части становятся логарифмами. Дальше работает метод рационализации: разность логарифмов имеет тот же знак, что произведение (основание − 1) на разность аргументов. Знак сохраняется только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе: неравенство ① и ограничения ② и ③.

\log_{x} \frac{3}{6 x^{2} - 11 x + 4} < \log_{x} x^{- 1} ⟺

{\begin{matrix} (x - 1) (\frac{3}{6 x^{2} - 11 x + 4} - x^{- 1}) < 0 & 1 \\ x > 0, x \neq 1 & 2 \\ \frac{3}{6 x^{2} - 11 x + 4} > 0 & 3 \end{matrix}

Минус единица — это логарифм основания в степени −1: −1 = logₐ a⁻¹, а a⁻¹ = 1/a. Ограничения ② и ③ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 3.Неравенство ①

Приводим скобку к общему знаменателю, затем раскладываем оба квадратных трёхчлена через дискриминант.

1 (x - 1) (\frac{3}{6 x^{2} - 11 x + 4} - x^{- 1}) < 0

x^{- 1} = \frac{1}{x}

\frac{3}{6 x^{2} - 11 x + 4} - \frac{1}{x} = \frac{3 x - (6 x^{2} - 11 x + 4)}{x (6 x^{2} - 11 x + 4)} =

= \frac{- 6 x^{2} + 14 x - 4}{x (6 x^{2} - 11 x + 4)}

- 6 x^{2} + 14 x - 4 = - 2 (3 x^{2} - 7 x + 2)

D = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25

x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{7 \pm 5}{6} \begin{matrix} = 2 \\ = \frac{1}{3} \end{matrix}

- 6 x^{2} + 14 x - 4 = - 6 (x - \frac{1}{3}) (x - 2)

6 x^{2} - 11 x + 4 = 0

D = {(- 11)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 - 96 = 25

x = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{11 \pm 5}{12} \begin{matrix} = \frac{4}{3} \\ = 0,5 \end{matrix}

6 x^{2} - 11 x + 4 = 6 (x - 0,5) (x - \frac{4}{3})

\frac{- 6 (x - 1) (x - \frac{1}{3}) (x - 2)}{6 x (x - 0,5) (x - \frac{4}{3})} < 0

\frac{- (x - 1) (x - \frac{1}{3}) (x - 2)}{x (x - 0,5) (x - \frac{4}{3})} < 0

Все шесть точек выколоты: неравенство строгое, а 0, 0,5 и 4/3 — точки разрыва. Минус перед числителем трогать не нужно: знаки расставляются прямо в этой форме. Пробная точка x = 3 на интервале (2; +∞): −(3 − 1)(3 − 1/3)(3 − 2) / (3(3 − 0,5)(3 − 4/3)) = −(16/3) / 12,5 ≈ −0,43 < 0 — знак «−»; все корни нечётной кратности, поэтому знаки чередуются. Решение ①: (−∞; 0) ∪ (1/3; 0,5) ∪ (1; 4/3) ∪ (2; +∞).

шаг 4.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно и не равно единице.

2 x > 0, x \neq 1

Основание |x| = x при x > 0; точка x = 1 выколота, потому что там основание обращается в единицу. Знак самого x через неё не меняется — слева и справа один и тот же плюс. Решение ②: (0; 1) ∪ (1; +∞).

шаг 5.Ограничение ③

Условие ③ — аргумент логарифма положителен. Числитель 3 > 0, поэтому дробь положительна ровно там, где положителен знаменатель. Его разложение уже получено в ①.

3 \frac{3}{6 x^{2} - 11 x + 4} > 0

6 x^{2} - 11 x + 4 > 0

6 (x - 0,5) (x - \frac{4}{3}) > 0

Корни 0,5 и 4/3 выколоты (строгое >). Парабола ветвями вверх — трёхчлен положителен вне корней. Решение ③: x < 0,5 или x > 4/3.

шаг 6.Пересечение при x > 0

Сводим три оси в одну. Ограничение ② отрезает всё левее нуля, ограничение ③ исключает интервал (1; 4/3) целиком — там аргумент логарифма отрицателен.

Проверка: x = 0,4 ⇒ основание 0,4 < 1, знаменатель 6 · 0,16 − 11 · 0,4 + 4 = 0,56, аргумент 3/0,56 ≈ 5,36; логарифм ≈ −1,83 < −1 ✓. Решение при x > 0: (1/3; 0,5) ∪ (2; +∞).

шаг 7.Отражение для x < 0 и объединение

С учётом условия x > 0 из предыдущего шага получили (1/3; 0,5) ∪ (2; +∞). Так как функция чётная, ответ для x < 0 — зеркальное отражение этих интервалов относительно нуля. Объединяем обе половины.

Проверка отражения: x = −0,4 ⇒ |x| = 0,4, и всё выражение принимает то же значение, что при x = 0,4 ✓. Ноль в ответ не входит: при x = 0 основание логарифма не определено.

условие