Задача 10151542 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент логарифма положителен, знаменатель дроби не обращается в ноль. Модуль равен двойке в двух точках; основание 2 больше единицы, логарифм возрастает, поэтому каждое равенство даёт ровно одно значение x.

ОДЗ

{\begin{matrix} x > 0 \\ | \log_{2} x + 1 | - 2 \neq 0 \end{matrix}

| \log_{2} x + 1 | \neq 2 ⟺ {\begin{matrix} \log_{2} x + 1 \neq 2 \\ \log_{2} x + 1 \neq - 2 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} \log_{2} x \neq 1 \\ \log_{2} x \neq - 3 \end{matrix}

{\begin{matrix} x \neq 2 \\ x \neq \frac{1}{8} \end{matrix}

{\begin{matrix} x > 0 \\ x \neq \frac{1}{8} \\ x \neq 2 \end{matrix}

Из log₂x = 1 получаем x = 2¹ = 2, из log₂x = −3 получаем x = 2⁻³ = 1/8. Обе точки положительны, поэтому оба ограничения существенны.

шаг 2.Замена переменной

Внутри модуля стоит log₂x — обозначим его буквой y; по ОДЗ x > 0, поэтому y принимает любые значения. Само выражение |y + 1| встречается в неравенстве дважды — это вторая замена t. Модуль неотрицателен, поэтому t ≥ 0, а ОДЗ добавляет t ≠ 2.

y = \log_{2} x, t = | y + 1 |

t \geq 0, t \neq 2

t - \frac{1}{t - 2} \geq 2

шаг 3.Сводим к одной дроби

Переносим двойку влево и группируем её с t — получается удобная разность t − 2, которая уже стоит в знаменателе. После приведения к общему знаменателю в числителе срабатывает разность квадратов.

t - \frac{1}{t - 2} - 2 \geq 0

(t - 2) - \frac{1}{t - 2} \geq 0

\frac{{(t - 2)}^{2} - 1}{t - 2} \geq 0

\frac{(t - 2 - 1) (t - 2 + 1)}{t - 2} \geq 0

\frac{(t - 3) (t - 1)}{t - 2} \geq 0

Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b) при a = t − 2 и b = 1.

шаг 4.Метод интервалов в t

Корни числителя: 1 и 3 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: 2 — выколота. Выноска показывает ограничение замены t ≥ 0; оно ничего не отсекает, потому что оба найденных промежутка лежат правее нуля.

Пробная точка t = 4 на интервале (3; +∞): (4 − 3)(4 − 1)/(4 − 2) = 1 · 3/2 = 1,5 > 0 — знак «+», дальше знаки чередуются: «−, +, −, +». В ответ идут интервалы со знаком «+» вместе с закрашенными корнями числителя: t ∈ [1; 2) ∪ [3; +∞).

шаг 5.Обратная замена

Подставляем t = |log₂x + 1| в каждый промежуток. Модуль снимаем по стандартному правилу, а двойное неравенство на модуль распадается на систему из двух одиночных.

«|u| < b» даёт −b < u < b, «|u| ≥ a» даёт u ≤ −a или u ≥ a.

1) t \in [1; 2) : 1 \leq | \log_{2} x + 1 | < 2

| \log_{2} x + 1 | \geq 1 ⟺ [\begin{matrix} \log_{2} x \leq - 2 \\ \log_{2} x \geq 0 \end{matrix}

| \log_{2} x + 1 | < 2 ⟺ - 2 < \log_{2} x + 1 < 2 ⟺ - 3 < \log_{2} x < 1

\log_{2} x \in (- 3; - 2] \cup [0; 1)

2) t \geq 3 : | \log_{2} x + 1 | \geq 3 ⟺ [\begin{matrix} \log_{2} x \leq - 4 \\ \log_{2} x \geq 2 \end{matrix}

В первом случае из |log₂x + 1| ≥ 1 получаем log₂x + 1 ≤ −1 или log₂x + 1 ≥ 1, то есть log₂x ≤ −2 или log₂x ≥ 0. На первой оси нижняя пара выносок — условие |log₂x + 1| ≥ 1, верхняя одиночная выноска — условие |log₂x + 1| < 2; закрашено их пересечение. Во втором случае условие одно, поэтому выноски не нужны.

шаг 6.Возвращаемся к x

Каждое условие на log₂x потенцируем: основание 2 больше единицы, логарифм возрастает, поэтому все знаки неравенств сохраняются.

\log_{2} x \in (- 3; - 2] ⟺ 2^{- 3} < x \leq 2^{- 2} ⟺ \frac{1}{8} < x \leq \frac{1}{4}

\log_{2} x \in [0; 1) ⟺ 2^{0} \leq x < 2^{1} ⟺ 1 \leq x < 2

\log_{2} x \leq - 4 ⟺ 0 < x \leq 2^{- 4} ⟺ 0 < x \leq \frac{1}{16}

\log_{2} x \geq 2 ⟺ x \geq 2^{2} ⟺ x \geq 4

Точка x = 0 не входит в ответ: она лишь граница ОДЗ, левее логарифм не определён. Обе выколотые точки ОДЗ оказались концами промежутков: при x = 1/8 и при x = 2 знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Остальные границы закрашены: там неравенство обращается в равенство.