условие

log7−x⁡(x−1)+logx−1⁡(x−7)4≤4

шаг 1.Область допустимых значений

Оба основания положительны и не равны единице, аргументы положительны.

ОДЗ
{7−x>0,7−x≠1x−1>0,x−1≠1(x−7)4>0⟺{1<x<7x≠6x≠2

Основание 7 − x обращается в единицу при x = 6, основание x − 1 — при x = 2. Четвёртая степень положительна при всех x ≠ 7, а семёрка и так не входит в интервал.

шаг 2.Упрощаем второй логарифм

Чётный показатель степени выносится с модулемПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
, а на ОДЗ |x − 7| = 7 − x. Оба логарифма становятся взаимно обратными.
logx−1⁡(x−7)4=4logx−1⁡|x−7|=4logx−1⁡(7−x)
log7−x⁡(x−1)+4logx−1⁡(7−x)≤4

Степень выносим с модулем: log_a b⁴ = 4 log_a |b|. Знак модуля важен: сама скобка x − 7 на ОДЗ отрицательна.

шаг 3.Замена переменной

Обозначим t = log_{7−x}(x − 1). Второй логарифм — обратная величина, поэтому неравенство становится дробно-рациональным.

t=log7−x⁡(x−1),logx−1⁡(7−x)=1t
t+4t≤4
t2−4t+4t≤0
(t−2)2t≤0
−++02
−∞
+∞
t
Полный квадрат: t² − 4t + 4 = (t − 2)². Корень t = 2 чётной кратности → петелька, знак через точку не меняется; он закрашен и войдёт в решение изолированно. Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
 Пробная точка t = −1: (−1 − 2)²/(−1) = 9/(−1) = −9 < 0 — знак «−». Решение: t < 0 или t = 2.

шаг 4.Обратная замена

Первый случай — отрицательный логарифм: его знак находим методом рационализацииМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
loga⁡f−loga⁡g(a−1)(f−g)a>0,a≠1,f,g>0af−ag(a−1)(f−g)a>0,a≠1|f|−|g|(f−g)(f+g)любыеf−gf−gf,g≥0
Множитель (a−1) задаёт направление: при a>1 он положителен (знак как у f−g), при 0<a<1 — отрицателен, знак переворачивается.
. Второй случай — уравнение: логарифм равен двум, значит аргумент равен квадрату основания.
1)log7−x⁡(x−1)<0
((7−x)−1)((x−1)−1)<0
(6−x)(x−2)<0
(x−2)(x−6)>0
2)log7−x⁡(x−1)=2
x−1=(7−x)2
x2−15x+50=0
x=5илиx=10
+−+случай 126
−∞
+∞
x
случай 25
−∞
+∞
x
ОДЗ1267
−∞
+∞
x
пересечение12567
−∞
+∞
x

Проверка по Виета: для x² − 15x + 50 сумма корней должна равняться 15, произведение — 50. У нас 5 + 10 = 15 и 5 · 10 = 50 — оба сходятся. Корень x = 10 не входит в ОДЗ, остаётся x = 5. Пробная точка x = 4 на интервале (2; 6): (4 − 2)(4 − 6) = 2 · (−2) = −4 < 0 — знак «−»; корни нечётной кратности, знаки чередуются. Проверка: x = 5 ⇒ log₂ 4 + 4 · log₄ 2 = 2 + 2 = 4, нестрогое ≤ выполняется ✓. Проверка: x = 1,5 ⇒ log₅,₅ 0,5 ≈ −0,41 и 4 · log₀,₅ 5,5 ≈ −9,84, сумма ≈ −10,25 ≤ 4 ✓.

ответ

x∈(1;2)∪{5}∪(6;7)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -