Задача 10151510 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Раскладываем числитель на множители

Группируем слагаемые числителя попарно и выносим общий множитель. Модуль при этом трогать не нужно — он целиком уходит в первую скобку.

3^{| x |} \cdot 2^{x} - 2^{x} - 8 \cdot 3^{| x |} + 8 =

= 2^{x} (3^{| x |} - 1) - 8 (3^{| x |} - 1) =

= (3^{| x |} - 1) (2^{x} - 8)

\frac{(3^{| x |} - 1) (2^{x} - 8)}{2^{\sqrt{x}} - 2} \geq 0

Первые два слагаемых дают 2ˣ(3^|x| − 1), вторые два — −8(3^|x| − 1); скобка общая, её и выносим.

шаг 2.Метод рационализации

И скобки числителя, и знаменатель — разности степеней с одинаковым основанием степени (1 = 3⁰, 8 = 2³, 2 = 2¹). Применяем метод рационализации: aᶠ − aᵍ имеет тот же знак, что (a − 1)(f − g). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому переходим сразу к равносильной системе.

\frac{(3^{| x |} - 3^{0}) (2^{x} - 2^{3})}{2^{\sqrt{x}} - 2^{1}} \geq 0

⟺ {\begin{matrix} \frac{(3 - 1) (| x | - 0) (2 - 1) (x - 3)}{(2 - 1) (\sqrt{x} - \sqrt{1})} \geq 0 & 1 \\ x \geq 0 & 2 \end{matrix}

Ограничение ② — это ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно. Условие 2^√x − 2 ≠ 0 отдельной строкой не выписываем — это точка разрыва дроби ①.

шаг 3.Неравенство ①

Все множители вида (a − 1) — положительные числа: (3 − 1) = 2 и (2 − 1) = 1. Остаётся ещё раз рационализировать знаменатель: √f − √g имеет тот же знак, что f − g, поэтому √x − √1 меняем на x − 1.

Корни числителя: 0 и 3 — закрашены (нестрогое ≥). Точка x = 0 — корень множителя |x|, который знак не меняет: чётная кратность, значит петелька. Точка разрыва знаменателя: 1 — выколота.

1 \frac{(3 - 1) (| x | - 0) (2 - 1) (x - 3)}{(2 - 1) (\sqrt{x} - \sqrt{1})} \geq 0

\frac{2 | x | (x - 3)}{\sqrt{x} - \sqrt{1}} \geq 0

\frac{2 | x | (x - 3)}{x - 1} \geq 0 | : 2

\frac{| x | (x - 3)}{x - 1} \geq 0

Замена √x − √1 на x − 1 законна только при неотрицательном подкоренном выражении — это как раз ограничение ②. Пробная точка x = 4: |4| · (4 − 3) : (4 − 1) = 4/3 > 0 — знак «+» на правом интервале. Решение ①: x ∈ (−∞; 1) ∪ [3; +∞).

шаг 4.Ограничение ② и пересечение

Условие ② даёт луч x ≥ 0. Пересекаем его с решением неравенства ①.

2 x \geq 0

Ограничение ② срезает всё, что левее нуля: от промежутка (−∞; 1) остаётся [0; 1). Луч [3; +∞) целиком лежит в ОДЗ и остаётся без изменений. В точке x = 0 числитель равен нулю, а знаменатель 2^√0 − 2 = −1 ≠ 0, поэтому точка входит в ответ.

условие

шаг 1.Раскладываем числитель на множители

шаг 2.Метод рационализации

шаг 3.Неравенство ①

шаг 4.Ограничение ② и пересечение

ответ