Задача 10151548 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

{(\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + 3)}^{x^{2} - x - 7} > \frac{4}{x^{2} - 6 x + 12}

шаг 1.Область допустимых значений

Основание степени обязано быть положительным, а знаменатель правой части — не равен нулю. Выделяем полный квадрат в трёхчлене и убеждаемся, что оба требования выполнены всегда.

ОДЗ

x^{2} - 6 x + 12 = {(x - 3)}^{2} + 3 \geq 3

\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + 3 = \frac{x^{2} - 6 x + 12}{4} \geq \frac{3}{4} > 0

Полный квадрат: x² − 6x + 12 = (x − 3)² − 9 + 12 = (x − 3)² + 3. Квадрат неотрицателен, поэтому трёхчлен не меньше 3 — он и положителен, и в ноль не обращается. Ограничений на x нет.

шаг 2.Приводим к одному основанию степени

В основании степени слева и в знаменателе справа стоит один и тот же трёхчлен. Значит правая часть — это то же основание степени в степени −1.

\frac{4}{x^{2} - 6 x + 12} = {(\frac{x^{2} - 6 x + 12}{4})}^{- 1}

{(\frac{x^{2} - 6 x + 12}{4})}^{x^{2} - x - 7} > {(\frac{x^{2} - 6 x + 12}{4})}^{- 1}

Степень с показателем −1 переворачивает дробь: (a/b)⁻¹ = b/a. Здесь a = x² − 6x + 12, b = 4.

шаг 3.Метод рационализации

Основание степени зависит от x, поэтому просто сравнить показатели степени нельзя. Применяем метод рационализации: разность a^f − a^g имеет тот же знак, что произведение (a − 1)(f − g). Ограничений ОДЗ нет, поэтому переход равносилен без дополнительных условий.

{(\frac{x^{2} - 6 x + 12}{4})}^{x^{2} - x - 7} - {(\frac{x^{2} - 6 x + 12}{4})}^{- 1} > 0

(\frac{x^{2} - 6 x + 12}{4} - 1) ((x^{2} - x - 7) - (- 1)) > 0

\frac{x^{2} - 6 x + 8}{4} \cdot (x^{2} - x - 6) > 0

\frac{(x - 2) (x - 4)}{4} \cdot (x - 3) (x + 2) > 0

\frac{(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x - 4)}{4} > 0

Проверка по Виета: для x² − 6x + 8 сумма корней должна равняться 6, произведение — 8. У нас 2 + 4 = 6 и 2 · 4 = 8 — оба сходятся. Проверка по Виета: для x² − x − 6 сумма корней должна равняться 1, произведение — −6. У нас 3 + (−2) = 1 и 3 · (−2) = −6 — оба сходятся. Положительную четвёрку в знаменателе не убираем: на знак она не влияет, а лишний шаг делению ничего не даёт.

шаг 4.Метод интервалов

Корни числителя: −2, 2, 3, 4 — все выколоты (неравенство строгое). Точек разрыва нет: знаменатель равен 4.

Пробная точка x = 0 на интервале (−2; 2): (0 + 2)(0 − 2)(0 − 3)(0 − 4)/4 = 2 · (−2) · (−3) · (−4)/4 = −48/4 = −12 < 0 — знак «−», через остальные корни знаки чередуются. Решением служат интервалы со знаком «+».

ответ

x \in (- \infty; - 2) \cup (2; 3) \cup (4; + \infty)