Задача 10151513 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны, основание степени |x| — тоже.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} > 0 \\ | x | > 0 \\ 2 x + 3 > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x \neq 0 \\ x > - 1,5 \end{matrix}

Степень с произвольным действительным показателем степени определена только при положительном основании степени, поэтому нужно |x| > 0. Условия x² > 0 и |x| > 0 равносильны одному и тому же x ≠ 0.

шаг 2.Оба слагаемых слева одинаковы

Второе слагаемое приводим к основанию степени 3. Записываем |x| по основному логарифмическому тождеству как 2 в степени log₂|x| — после этого множители в показателе степени можно поменять местами.

| x |^{\log_{2} 9} = {(2^{\log_{2} | x |})}^{\log_{2} 9} = 2^{\log_{2} | x | \cdot \log_{2} 9} =

= {(2^{\log_{2} 9})}^{\log_{2} | x |} = 9^{\log_{2} | x |}

9^{\log_{2} | x |} = {(3^{2})}^{\log_{2} | x |} = 3^{2 \log_{2} | x |} = 3^{\log_{2} x^{2}}

3^{\log_{2} x^{2}} + 2 \cdot | x |^{\log_{2} 9} = 3 \cdot 3^{\log_{2} x^{2}}

Основное логарифмическое тождество: a в степени logₐb равно b (при b > 0). 2 log₂|x| = log₂|x|² = log₂x² — под чётной степенью модуль исчезает. Оба слагаемых левой части оказались одинаковыми: 1 + 2 = 3 таких слагаемых.

шаг 3.Приводим правую часть к основанию степени 3

Основание логарифма 0,5 — это 2⁻¹, поэтому log₀,₅ отличается от log₂ только знаком. Само основание степени 1/3 — это 3⁻¹, и два минуса в показателе степени дают плюс.

0,5 = \frac{1}{2} = 2^{- 1} ⟹ \log_{0,5} (2 x + 3) = - \log_{2} (2 x + 3)

{(\frac{1}{3})}^{\log_{0,5} (2 x + 3)} = {(3^{- 1})}^{- \log_{2} (2 x + 3)} = 3^{\log_{2} (2 x + 3)}

3 \cdot 3^{\log_{2} x^{2}} \leq 3 \cdot 3^{\log_{2} (2 x + 3)}

Переход к новому основанию логарифма: log_{aᵏ}b = (1/k) · logₐb. При k = −1 получаем log_{1/a}b = −logₐb.

шаг 4.Снимаем основание степени

Делим обе части на 3 > 0 и сравниваем показатели степени: функция 3ᵗ возрастает (основание степени 3 > 1), поэтому знак неравенства сохраняется.

3 \cdot 3^{\log_{2} x^{2}} \leq 3 \cdot 3^{\log_{2} (2 x + 3)} | : 3

3^{\log_{2} x^{2}} \leq 3^{\log_{2} (2 x + 3)}

\log_{2} x^{2} \leq \log_{2} (2 x + 3)

шаг 5.Снимаем логарифм и решаем неравенство

Логарифм по основанию 2 > 1 возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется. Положительность обоих аргументов уже записана в ОДЗ, лишних решений не появится.

\log_{2} x^{2} \leq \log_{2} (2 x + 3)

x^{2} \leq 2 x + 3

x^{2} - 2 x - 3 \leq 0

(x + 1) (x - 3) \leq 0

По теореме Виета для x² − 2x − 3 = 0: сумма корней равна 2, произведение равно −3. Подбираем x₁ = −1 и x₂ = 3, отсюда x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3). Пробная точка x = 0: (0 + 1)(0 − 3) = −3 < 0 — знак «−» на среднем интервале, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤).

шаг 6.Пересечение с ОДЗ

Из отрезка [−1; 3] выбрасываем точку x = 0 — там не определены ни log₂x², ни степень с основанием степени |x|. Условие x > −1,5 выполняется автоматически.

Граница ОДЗ x = −1,5 лежит левее отрезка [−1; 3] и на ответ не влияет. Точка x = 0 лежит внутри отрезка, поэтому он распадается на два промежутка.

условие