Задача 10151432 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

(4 x - 7) \cdot \log_{x^{2} - 4 x + 5} (3 x - 5) \geq 0

шаг 1.Метод рационализации

Слева — произведение многочлена и логарифма с переменным основанием. Знак логарифма даёт метод рационализации: log_f g имеет тот же знак, что (f − 1)(g − 1). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому исходное неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ОДЗ ②, ③ и ④.

(4 x - 7) \cdot \log_{x^{2} - 4 x + 5} (3 x - 5) \geq 0 ⟺

{\begin{matrix} (4 x - 7) ((x^{2} - 4 x + 5) - 1) ((3 x - 5) - 1) \geq 0 & 1 \\ x^{2} - 4 x + 5 > 0 & 2 \\ x^{2} - 4 x + 5 \neq 1 & 3 \\ 3 x - 5 > 0 & 4 \end{matrix}

Здесь основание f = x² − 4x + 5, аргумент g = 3x − 5. Множитель (4x − 7) в замене не участвует — он и так многочлен, его знак виден напрямую. Условия ②, ③ и ④ — это ОДЗ логарифма: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

шаг 2.Неравенство ①

Приводим подобные в обеих скобках: x² − 4x + 4 сворачивается в квадрат разности, а из 3x − 6 выносим 3. Три одинаковые скобки (x − 2) собираются в куб.

1 (4 x - 7) ((x^{2} - 4 x + 5) - 1) ((3 x - 5) - 1) \geq 0

(4 x - 7) (x^{2} - 4 x + 4) (3 x - 6) \geq 0

x^{2} - 4 x + 4 = {(x - 2)}^{2}

3 x - 6 = 3 (x - 2)

3 (4 x - 7) {(x - 2)}^{2} (x - 2) \geq 0

3 (4 x - 7) {(x - 2)}^{3} \geq 0

Корни левой части 1,75 и 2 закрашены (нестрогое ≥). У корня 2 кратность 3 — она нечётная, поэтому знак через него меняется. Пробная точка x = 0 на интервале (−∞; 1,75): 3(4 · 0 − 7)(0 − 2)³ = 3 · (−7) · (−8) = 168 > 0 — знак «+»; дальше знаки чередуются. Решение ①: (−∞; 1,75] ∪ [2; +∞).

шаг 3.Ограничение ②

Условие ② — основание логарифма положительно. Считаем дискриминант трёхчлена.

2 x^{2} - 4 x + 5 > 0

D = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = - 4 < 0

Дискриминант отрицателен, а ветви параболы направлены вверх — трёхчлен положителен при любом x. Ограничение ② выполняется всегда и ничего не отсекает. Решение ②: вся ось.

шаг 4.Ограничение ③

Условие ③ — основание логарифма не равно единице. Тот же квадрат разности уже свернулся в ①.

3 x^{2} - 4 x + 5 \neq 1

x^{2} - 4 x + 4 \neq 0

{(x - 2)}^{2} \neq 0

x \neq 2

При x = 2 основание обращается в единицу, и логарифм не определён — точка выколота. Решение ③: вся ось, кроме x = 2.

шаг 5.Ограничение ④

Условие ④ — аргумент логарифма положителен.

4 3 x - 5 > 0

x > \frac{5}{3}

Решение ④: x > 5/3.

шаг 6.Пересечение

Сводим четыре оси в одну. Ограничение ④ обрезает левый луч по x = 5/3, ограничение ③ выкалывает точку x = 2, ограничение ② не отсекает ничего.

Точка x = 1,75 закрашена: там множитель 4x − 7 обращается в ноль, всё произведение равно нулю, и нестрогое ≥ выполняется. Точка x = 2 выколота ограничением ③. Проверка: x = 1,7 ⇒ основание 1,09 > 1, аргумент 0,1 < 1, логарифм отрицателен; множитель 4x − 7 = −0,2 тоже отрицателен, произведение положительно ✓.

ответ

x \in (\frac{5}{3}; 1,75] \cup (2; + \infty)