19Задача с параметром

Одна из двух задач высокого уровня сложности — на максимальные 4 балла. Нужно найти все значения параметра, при которых уравнение, неравенство или их система обладает заданным свойством (единственное решение, ровно два решения, решения на указанном промежутке и т. п.). Требует уверенного владения свойствами функций, графическим методом и аналитическими приёмами.

Что проверяется

• Оперирование понятиями равносильности, системы уравнений и неравенств, тождественного преобразования.
• Умение исследовать зависимость решения от параметра — графически и аналитически.
• Работа с графиками на плоскости (x, y) или (x, a), геометрическая интерпретация условия.
• Использование свойств функций: монотонность, чётность, периодичность, симметрия относительно осей или биссектрис.

Типичные сюжеты

• Найти все значения a, при которых уравнение f(x, a) = 0 имеет ровно n корней.
• Система двух уравнений (обычно прямая и окружность, либо две кривые) — найти значения параметра, при которых они имеют ровно одну общую точку или задевают друг друга.
• Неравенство с параметром: найти a, при которых множество решений — заданный промежуток.
• Уравнение с модулем: учесть симметрию относительно оси; найти значения a, при которых корни образуют арифметическую/геометрическую прогрессию.
• Система из уравнения и неравенства: графически найти область допустимых (x, y) и пересечь с прямой a = const.

Как оценивается

• 4 балла — обоснованно найдены все значения параметра, ни один случай не упущен.
• 3 балла — пропущен один граничный случай или допущена единичная вычислительная ошибка, не меняющая метод.
• 2 балла — найдена основная часть ответа, но пропущено несколько случаев или граничных значений.
• 1 балл — найдена лишь часть решения с верной идеей метода.
• 0 баллов — идея неверна.

На что обратить внимание

Графический метод часто сокращает решение в разы: переведите уравнение в «пересечение двух кривых», одна из которых зависит от параметра (обычно — прямая или пучок прямых). Следите за граничными случаями: равенства в неравенствах, касание вместо пересечения, совпадение корней. Именно на них чаще всего снимают баллы. Обязательно оформите ответ как объединение множеств значений параметра (промежутки, отдельные точки).