18Планиметрия 2

Одна из самых объёмных задач второй части — планиметрическая задача на строгое доказательство и вычисление. Состоит из двух пунктов: (а) доказать геометрическое утверждение; (б) вычислить конкретную величину — длину, угол, площадь или отношение.

Что проверяется

• Полное владение теоремами планиметрии: о вписанных и описанных окружностях, о подобии, о средней линии, о касательной и хорде, о секущих.
• Умение строить аккуратный чертёж и вводить вспомогательные построения.
• Строгое доказательство с явными ссылками на признаки и теоремы.
• Вычисление геометрических величин с использованием тригонометрии: теоремы синусов и косинусов, формулы площади.

Типичные сюжеты

• Вписанный четырёхугольник: доказать, что он вписан; найти длину диагонали или отношение площадей частей.
• Касательные к окружности из внешней точки: доказать равенство или подобие; найти радиус, хорду или расстояние.
• Трапеция с вписанной окружностью: доказать, что сумма оснований равна сумме боковых сторон; найти высоту или радиус.
• Две пересекающиеся окружности, общие хорды и касательные: доказать коллинеарность точек; найти отношение отрезков.
• Медиана, биссектриса, высота в треугольнике — свойства, отношение длин, теоремы о делении в данном отношении.

Как оценивается

• 3 балла — оба пункта решены полностью: доказательство строгое, вычисление без ошибок.
• 2 балла — пункт (а) с полным доказательством, (б) содержит арифметическую или незначительную логическую ошибку; либо (а) имеет пробел, но (б) верен.
• 1 балл — решён один из пунктов.
• 0 баллов — доказательство опирается на неверные факты или чертёж не соответствует условию.

На что обратить внимание

Тщательный чертёж — половина решения. Вспомогательные построения (продление отрезка, опускание перпендикуляра, проведение диаметра через точку) часто «открывают» задачу. В доказательстве каждое утверждение должно быть явно обосновано — не «очевидно», а «по теореме о вписанном угле». Для вычислительного пункта удобно выделить отдельный треугольник, в котором известны два элемента, и применить теорему синусов или косинусов.