15Стереометрия 2

Объёмная геометрическая задача с развёрнутым ответом — до 3 баллов. Состоит из двух пунктов: (а) доказать геометрическое утверждение (перпендикулярность, параллельность, принадлежность точек плоскости и т. п.) и (б) вычислить линейную величину, угол или объём сечения.

Что проверяется

• Оперирование понятиями: скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность, угол между прямыми и плоскостями, расстояние от точки до плоскости.
• Построение сечений многогранников и тел вращения.
• Вычисление геометрических величин сечения с опорой на теоремы планиметрии.
• Умение строго оформить доказательство: ссылки на признаки, свойства, теоремы.

Типичные сюжеты

• Призма или пирамида: доказать, что определённая точка лежит в плоскости сечения; найти площадь сечения или угол между плоскостью сечения и основанием.
• Правильный тетраэдр или куб: доказать перпендикулярность прямой и плоскости; найти расстояние от точки до плоскости или между скрещивающимися прямыми.
• Цилиндр или конус: найти площадь осевого или косого сечения, объём отсекаемой части.
• Комбинация двух тел (например, пирамида, вписанная в куб) — найти отношение объёмов.

Как оценивается

• 3 балла — оба пункта решены верно с полными обоснованиями; чертёж корректен.
• 2 балла — пункт (а) обоснован полностью, пункт (б) решён с незначительной ошибкой; или наоборот — (а) имеет пробел, но (б) верен.
• 1 балл — верно решён только один из пунктов.
• 0 баллов — доказательство строится на неверных предпосылках.

На что обратить внимание

Начинайте с аккуратного чертежа и введения обозначений — без этого жюри сложно следить за рассуждением. В доказательстве каждый шаг должен ссылаться на признак или теорему: «по признаку перпендикулярности прямой и плоскости», «по теореме о трёх перпендикулярах». Для вычислений часто удобен координатный метод — особенно если многогранник — правильный или имеет прямой угол: векторные/координатные выкладки проще оформить формально.