14Уравнения 2

Первое задание с развёрнутым ответом. Состоит из двух пунктов: (а) решить уравнение и (б) отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку. Чаще всего уравнение тригонометрическое с параметрами-корнями или логарифмическое/показательное с заменой переменной.

Что проверяется

• Решение уравнений различных видов: тригонометрических, показательных, логарифмических, комбинированных.
• Корректный учёт области определения и проверка корней.
• Отбор корней на заданном промежутке — через запись серий и перечисление, через неравенства или окружность.
• Чёткое оформление решения: каждый шаг обоснован, ответы на пункты (а) и (б) выделены.

Типичные сюжеты

• Тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному относительно sin x или cos x, плюс отбор корней на отрезке вида [3π/2; 3π].
• Логарифмическое уравнение с заменой t = log_a x, последующим решением квадратного уравнения и возвратом к x.
• Показательное уравнение со сведением к одному основанию и заменой t = a^x.
• Уравнение с модулем или комбинация нескольких видов — всегда со строгой проверкой ОДЗ.

Как оценивается

• 2 балла — оба пункта решены верно, с полным обоснованием.
• 1 балл — верно решён один пункт (обычно а) или допущена мелкая вычислительная ошибка, не влияющая на метод.
• 0 баллов — ход решения неверен или пропущена ОДЗ, из-за чего появляются посторонние корни.

На что обратить внимание

Записывайте ОДЗ явно в начале решения и возвращайтесь к ней при отборе корней — это самое частое место потери баллов. Для отбора корней удобна тригонометрическая окружность (в тригонометрических уравнениях) или числовая прямая (в остальных). Оба пункта — а и б — должны быть явно отмечены и иметь собственный ответ.