09Производная

Задача по элементам математического анализа. Чаще всего на условии нарисован график функции y = f(x) или её производной y = f′(x), и требуется прочитать этот график: где функция возрастает/убывает, где у неё экстремумы, в какой точке касательная имеет заданный угловой коэффициент и т.п.

Что проверяется

• Понятия функции, экстремума, наибольшего и наименьшего значения на промежутке.
• Производная: геометрический смысл (тангенс угла наклона касательной) и связь со знаками возрастания/убывания.
• Первообразная, определённый интеграл и его геометрический смысл (площадь под графиком).
• Уравнение касательной y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀).

Типичные сюжеты

• По графику f(x): найти количество точек экстремума на заданном отрезке или точку, где достигается максимум.
• По графику f′(x): определить, где сама f(x) возрастает, убывает, имеет экстремумы или точки перегиба.
• Найти число точек, в которых касательная к графику параллельна заданной прямой (т. е. f′(x) = k).
• Найти f′(x₀) геометрически — как тангенс угла касательной, построенной в точке.
• Найти площадь криволинейной трапеции через определённый интеграл первообразной.

На что обратить внимание

Главная ловушка — перепутать график f и график f′. Прочитайте подпись под графиком внимательно. Если на графике — производная, то знак производной = характер роста исходной функции, а точки, где f′(x) = 0 и меняет знак, — это экстремумы f. Если на графике — сама функция, то касательная читается как «провести прямую через точку и оценить угол».