08Преобразования

Задача на вычисление значения выражения. Самой переменной в ответе нет — всё сводится к одному числу. Проверяется умение аккуратно работать со свойствами степеней, логарифмов и дробей.

Что проверяется

• Свойства степеней: a^m · a^n = a^{m+n}, (a^m)^n = a^{m·n}, a^m / a^n = a^{m−n}.
• Свойства логарифмов: log_a(xy) = log_a x + log_a y, log_a(x/y) = log_a x − log_a y, log_a x^k = k·log_a x.
• Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a.
• Тождественные преобразования дробно-рациональных выражений, сокращение, приведение к общему знаменателю.
• Действия с корнями: √(ab) = √a·√b, √(a/b) = √a/√b, корень как степень 1/n.

Типичные сюжеты

• Вычислить log_a(bc) или log_a(b^n), зная log_a b и log_a c.
• Упростить выражение вида a^x · a^y / a^z и подставить числа.
• Вычислить (√a + √b)² при конкретных a и b.
• Привести выражение с несколькими дробями к одной и сократить.
• Логарифм с основанием-степенью: log_{a^k} b = (1/k)·log_a b.

На что обратить внимание

Самая частая ошибка — путаница в знаках при применении свойств логарифма (log(a/b) ≠ log a / log b!) и при делении степеней. Перед тем как подставлять числа, доведите выражение до максимально компактного вида — тогда арифметика становится тривиальной и шанс ошибиться в промежуточных вычислениях резко падает.