05Теория вероятностей 2

Содержательная вероятностная задача повышенного уровня. В отличие от задания 4 здесь нужно комбинировать несколько событий, пользоваться формулами сложения и умножения, формулой полной вероятности, а иногда — строить дерево исходов или схему Бернулли.

Что проверяется

• Сложение вероятностей для несовместных событий: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• Общая формула: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Умножение для независимых событий: P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
• Условная вероятность и формула полной вероятности: P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A | Hᵢ).
• Простейшие комбинаторные формулы (перестановки, сочетания).
• Графические методы: дерево исходов, таблицы, диаграммы Эйлера.

Типичные сюжеты

• Двухэтапная задача: что-то выбирается дважды (с возвращением или без); найти вероятность определённого результата.
• Стрелок делает несколько выстрелов — вероятность хотя бы одного попадания, ровно одного, всех.
• Задача с гипотезами: предмет выбран наугад из одного из двух ящиков с известным составом — найти вероятность события и, иногда, обратную (вероятность гипотезы при условии события).
• Экзамен, лотерея, отбор кандидатов — чаще всего сводится к формуле полной вероятности.

На что обратить внимание

Чётко формулируйте, что такое события A, B, H — и «зависимы» они или «независимы» в условии. Для «хотя бы одного» удобно перейти к противоположному событию (все не произошли) и вычесть вероятность из единицы. Если вариантов много, дерево исходов с подписанными вероятностями на ветках решает задачу почти механически.