02Векторы

Короткое задание на базовую работу с векторами — чаще всего в координатной плоскости. Нужно вычислить координаты суммы или разности, длину вектора, скалярное произведение или угол между векторами.

Что проверяется

• Понятия вектора и его координат.
• Сумма векторов, умножение вектора на число.
• Скалярное произведение и его геометрический смысл.
• Угол между векторами, условия коллинеарности и перпендикулярности.

Типичные сюжеты

• Координаты вектора по координатам начала и конца.
• Длина вектора √(x² + y²) (или √(x² + y² + z²) в пространстве).
• Скалярное произведение через координаты: a·b = x₁x₂ + y₁y₂, и через модули: a·b = |a|·|b|·cos α.
• Угол между векторами: cos α = (a·b) / (|a|·|b|).
• Проверка перпендикулярности (a·b = 0) и коллинеарности (пропорциональность координат).
• Сумма и разность векторов, заданных отрезками на клетчатой бумаге.

На что обратить внимание

Часто условие даётся графически — на сетке или в параллелограмме. Аккуратно выпишите координаты каждой точки, и дальше задача сводится к подстановке в формулу. Следите за знаком при вычитании координат и за порядком множителей в скалярном произведении — ошибки чаще всего именно там.