условие

(xlog3⁡x−9)⋅(log7⁡x+17+logx+1⁡7x+1)≤0

шаг 1.Область допустимых значений

Основание степени x и аргумент логарифма положительны; основание x + 1 положительно и не равно единице.

ОДЗ
{x>0x+1>0,x+1≠1⟺x>0

При x > 0 выполнено x + 1 > 1, поэтому условия на основание второго логарифма выполняются автоматически.

шаг 2.Первый множитель

Обозначим t = log₃ x, тогда x = 3ᵗ и x^{log₃x} = 3^{t²}. Девятку записываем как 3². Разность степеней с основанием 3 > 1 имеет тот же знак, что разность показателей степениМетод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
loga⁡f−loga⁡g(a−1)(f−g)a>0,a≠1,f,g>0af−ag(a−1)(f−g)a>0,a≠1|f|−|g|(f−g)(f+g)любыеf−gf−gf,g≥0
Множитель (a−1) задаёт направление: при a>1 он положителен (знак как у f−g), при 0<a<1 — отрицателен, знак переворачивается.
.
t=log3⁡x,x=3t
xlog3⁡x=(3t)t=3t2
3t2−32→t2−2=(t−2)(t+2)
+−+−√2√2
−∞
+∞
t

Первый множитель неположителен ровно при −√2 ≤ t ≤ √2. Парабола t² − 2 ветвями вверх, корни закрашены: между ними она отрицательна.

шаг 3.Второй множитель

Обозначим v = log₇(x + 1). Первый логарифм равен v − 1, второй — обратной величине минус единица. Сумма сворачивается в дробь с полным квадратом в числителе; на ОДЗ v > 0, поэтому она неотрицательна — это и есть неравенство КошиНеравенство Коши (AM-GM)
Для любых неотрицательных чисел среднее арифметическое всегда больше или равно их среднему геометрическому:
· среднее арифметическое a+b2
· среднее геометрическое ab
a+b2≥ab⟺a+b≥2ab
Равенство — только при a = b.
Доказательство:
a+b2−ab=a−2ab+b2=(a−b)22≥0
Квадрат всегда неотрицателен.
Пример. Возьмём два числа 2 и 8.
· среднее арифметическое 2+82=102=5
· среднее геометрическое 2⋅8=16=4
Результат: 5>4.
Популярный приём
взять a=t,b=1t при t>0: тогда ab=t⋅1t=1, поэтому t+1t≥2, равенство при t=1.
 для суммы v + 1/v.
v=log7⁡(x+1)
log7⁡x+17=v−1,logx+1⁡7x+1=1v−1
v+1v−2=v2−2v+1v=(v−1)2v≥0
(v−1)2v=0⟺v=1⟺x=6

При x > 0 выполнено x + 1 > 1, значит v = log₇(x + 1) > 0 и дробь неотрицательна. Она равна нулю только при v = 1, то есть при x + 1 = 7.

шаг 4.Собираем произведение

Второй множитель неотрицателен на всей ОДЗ. Значит произведение неположительно либо когда второй множитель равен нулю (это точка x = 6), либо когда первый множитель неположителен.

−2≤log3⁡x≤2
3−2≤x≤32
ответ06
3−2
32
−∞
+∞
x

Показательная функция 3ᵗ возрастает, поэтому двойное неравенство на t переходит в двойное неравенство на x с сохранением закрашенности границ. 3^{√2} ≈ 4,73 < 6, поэтому точка x = 6 остаётся изолированной. Проверка: x = 1 ⇒ первый множитель 1 − 9 = −8 < 0, второй положителен, произведение отрицательно ✓. Проверка: x = 6 ⇒ второй множитель равен нулю, произведение равно нулю ✓. Проверка: x = 10 ⇒ первый множитель ≈ 115,7 > 0, второй положителен — точка не подходит ✓.

ответ

x∈[3−2;32]∪{6}
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -