Задача 10151547 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны, модуль в знаменателе не равен нулю, подкоренное выражение строго положительно — корень стоит в знаменателе.

ОДЗ

{\begin{matrix} x - 3 > 0 \\ x > 0 \\ | x - 4 | \neq 0 \\ 6 - x > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} 3 < x < 6 \\ x \neq 4 \end{matrix}

Условие x > 0 слабее условия x > 3 и в итог не попадает.

шаг 2.Упрощаем числитель

По основному логарифмическому тождеству первый множитель равен самому аргументу. На ОДЗ он положителен, как и весь знаменатель, поэтому знак дроби определяет только вторая скобка.

2^{\log_{2} (x - 3)} = x - 3

\frac{(x - 3) (\log_{0,2} x + 1)}{| x - 4 | \cdot \sqrt{6 - x}} \geq 0

\log_{0,2} x + 1 \geq 0

Основное логарифмическое тождество: a^{log_a b} = b при b > 0. На ОДЗ x − 3 > 0, |x − 4| > 0 и √(6 − x) > 0 — все три множителя положительны, поэтому их можно убрать, не меняя знака.

шаг 3.Метод рационализации

Единицу записываем как log₀,₂ 0,2⁻¹ = log₀,₂ 5 и применяем метод рационализации: log₀,₂ f − log₀,₂ g имеет тот же знак, что (0,2 − 1)(f − g), то есть противоположный знаку f − g.

\log_{0,2} x + 1 \geq 0 ⟺ \log_{0,2} x \geq - 1

- 1 = \log_{0,2} 5 ⟹ \log_{0,2} x \geq \log_{0,2} 5

(0,2 - 1) (x - 5) \geq 0

5 - x \geq 0

log₀,₂ 5 = −1, потому что 0,2⁻¹ = 5. Множитель (0,2 − 1) = −0,8 отрицателен, поэтому знак разности аргументов переворачивается.

шаг 4.Пересечение с ОДЗ

Условие 5 − x ≥ 0 даёт луч x ≤ 5. Пересекаем его с ОДЗ.

Точка x = 4 выколота по ОДЗ: там модуль в знаменателе обращается в ноль. Проверка: x = 4,5 ⇒ log₀,₂ 4,5 + 1 ≈ 0,07 > 0, вся дробь положительна ✓. Проверка: x = 5,5 ⇒ log₀,₂ 5,5 + 1 ≈ −0,06 < 0 — точка не подходит, и в ответ она не входит ✓.

условие

шаг 1.Область допустимых значений

шаг 2.Упрощаем числитель

шаг 3.Метод рационализации

шаг 4.Пересечение с ОДЗ

ответ